📌 핵심 공식 — 선분의 내분점
좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여, 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표는
P ( (mx₂ + nx₁) / (m+n) , (my₂ + ny₁) / (m+n) )
※ 특히 m : n = 1 : 1이면 중점 M ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 )
왜 이 공식이 성립할까? (유도 과정)
1단계 — x좌표만 따로 본다.
세 점 A, P, B에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A′(x₁), P′(x), B′(x₂)라 하면, AP : PB = m : n 이므로 그림자(정사영)인 A′P′ : P′B′ = m : n 도 성립합니다.
2단계 — 수직선 위의 내분점 공식을 적용한다.
x축(수직선) 위에서 x₁과 x₂를 m : n으로 내분하므로
x = (mx₂ + nx₁) / (m+n)
3단계 — y좌표도 똑같이 한다.
y축에 정사영하여 같은 방법으로 적용하면
y = (my₂ + ny₁) / (m+n)
즉, x좌표·y좌표를 각각 따로 내분하면 끝입니다. 새로운 공식이 아니라 수직선 위 내분점 공식을 x, y에 두 번 쓴 것뿐입니다.
적용 예제
예제 1. 기본 대입
두 점 A(1, 2), B(7, 5)에 대하여 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P의 좌표를 구해 보자. (m=2, n=1)
x = (2·7 + 1·1) / (2+1) = 15 / 3 = 5
y = (2·5 + 1·2) / (2+1) = 12 / 3 = 4
∴ P(5, 4)
예제 2. 교점의 x좌표만 필요한 경우
이차함수와 직선이 만나는 두 점 A, B의 x좌표가 각각 −1, 5라 하자. 선분 AB를 1 : 2로 내분하는 점의 x좌표를 구하면 (m=1, n=2)
x = (1·5 + 2·(−1)) / (1+2) = (5 − 2) / 3 = 3 / 3 = 1
이처럼 x좌표만 묻는 문제는 x 계산만 하면 됩니다. 두 교점의 x좌표는 보통 이차방정식의 근(근과 계수의 관계)으로 얻습니다.
⚠ 자주 나오는 실수
① 비율과 좌표를 엇갈려 곱하는 것이 핵심. m : n 내분에서 m은 멀리 있는 B(x₂)에, n은 가까운 A(x₁)에 곱합니다. (mx₁+nx₂ 로 쓰면 오답!)
② 분모 (m+n)을 빠뜨리지 말 것. 비율의 합으로 나눠야 합니다.