📌 핵심 공식 — 직선 위 두 점 사이의 거리
두 점 P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂)가 모두 기울기 m인 직선 위에 있을 때, 두 점 사이의 거리는 x좌표의 차만으로 계산할 수 있습니다.
PQ = |x₂ − x₁| · √(1 + m²)
여기서 두 점이 어떤 곡선과 직선의 교점이면, 두 x좌표는 한 이차방정식의 두 근이므로
|x₂ − x₁| = √{(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂} (근과 계수의 관계)로 구합니다.
왜 x좌표의 차만으로 거리가 나올까? — 공식 유도
두 점이 같은 직선 위에 있다는 사실 하나가 거리 공식을 크게 단순하게 만들어 줍니다.
1단계 — 두 점은 같은 직선 위에 있다
P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂)가 직선 y = mx + n 위에 있으므로
y₁ = mx₁ + n, y₂ = mx₂ + n.
2단계 — y의 차를 x의 차로 바꾼다
두 식을 빼면 상수 n이 사라지고
y₂ − y₁ = m(x₂ − x₁).
3단계 — 거리 공식에 대입
= √{(x₂ − x₁)² + m²(x₂ − x₁)²}
= √{(x₂ − x₁)²(1 + m²)} = |x₂ − x₁| · √(1 + m²)
즉 두 점의 x좌표 차와 직선의 기울기만 알면 거리가 정해집니다.
4단계 — |x₂ − x₁|는 근과 계수의 관계로
P, Q가 어떤 곡선과 직선의 교점이라면, 두 x좌표 x₁·x₂는 “곡선식 = 직선식”에서 나온 이차방정식의 두 근입니다. 두 근을 직접 구하지 않아도
로 합 x₁+x₂ 와 곱 x₁x₂만 대입하면 됩니다.
적용 예제 — 좌표값으로 직접 계산하기
예제 1.
직선 y = x + 2 와 포물선 y = x² 의 두 교점을 P, Q라 할 때, 선분 PQ의 길이를 구하시오.
풀이 펼쳐보기 ▼
근과 계수의 관계: x₁ + x₂ = 1, x₁x₂ = −2.
|x₂ − x₁| = √{(x₁+x₂)² − 4x₁x₂} = √{1 − 4·(−2)} = √9 = 3.
직선의 기울기 m = 1 이므로
PQ = |x₂ − x₁|·√(1 + m²) = 3·√(1 + 1) = 3√2.
※ 검산: x² − x − 2 = (x−2)(x+1) → P(2, 4), Q(−1, 1) → PQ = √(3² + 3²) = √18 = 3√2. ✓
예제 2. (유형11 · 0062 대표문제)
포물선 y = ax² 과 직선 y = ½x + 1 의 두 교점을 P, Q, 선분 PQ의 중점을 M이라 하자. M에서 y축에 내린 수선의 발을 H라 할 때 MH = 1 이면, 선분 PQ의 길이를 구하시오. (단, a > 0)
풀이 펼쳐보기 ▼
ax² = ½x + 1 → 양변에 2를 곱하면 2ax² − x − 2 = 0.
근과 계수의 관계: x₁ + x₂ = 1/(2a), x₁x₂ = −1/a.
② MH = 1 조건으로 a 결정
중점 M의 x좌표는 (x₁ + x₂)/2 = 1/(4a). H는 M에서 y축에 내린 수선의 발이므로
MH = (M의 x좌표까지의 거리) = |1/(4a)|.
MH = 1 → 1/(4a) = 1 (a > 0) → a = 1/4.
③ 이차방정식 정리 후 |x₂ − x₁| 계산
a = 1/4 을 2ax² − x − 2 = 0 에 대입하면 ½x² − x − 2 = 0, 즉 x² − 2x − 4 = 0.
x₁ + x₂ = 2, x₁x₂ = −4 →
|x₂ − x₁| = √{2² − 4·(−4)} = √20 = 2√5.
④ 거리 공식 적용 — 직선의 기울기 m = ½ 이므로
PQ = |x₂ − x₁|·√(1 + m²) = 2√5·√(1 + ¼) = 2√5·(√5 / 2) = 5.
※ 판별식 확인: x² − 2x − 4 = 0 의 D = 4 + 16 = 20 > 0 → 서로 다른 두 교점 존재. ✓
⚠ 자주 나오는 실수
- √(1 + m²) 의 m을 기울기가 아닌 다른 값으로 넣는 실수 — 반드시 직선 y = mx + n 의 기울기 m을 쓴다.
- |x₂ − x₁| = √{(x₁+x₂)² − 4x₁x₂} 에서 4x₁x₂ 앞의 부호를 빠뜨리기 — x₁x₂가 음수면 −4x₁x₂는 양수로 더해진다.
- 두 근을 굳이 다 구하려다 계산이 길어지는 경우 — 합·곱(근과 계수의 관계)만으로 |x₂−x₁|가 나온다.
- 마지막에 √(1 + m²)를 곱하지 않고 |x₂ − x₁|만 답으로 쓰는 실수 — 이것은 거리가 아니라 x좌표의 차일 뿐이다.
이 개념, 직접 풀어볼까요?
아래 연산연습으로 ‘근과 계수 → 중점 → 거리’의 흐름을 손에 익혀 보세요.
P-이차함수01 · 근과 계수의 관계 반복 훈련 P-이차함수03 · 중점 공식 적용 반복 훈련 P-이차함수04 · 직선 위 두 점 거리 계산 반복 훈련