이차함수와 직선의 교점 — 이차방정식의 실근으로 x좌표 구하기

핵심 개념 — 교점의 x좌표는 곧 ‘이차방정식의 실근’

이차함수 y = f(x) 와 직선 y = g(x) 의 교점에서는 두 그래프의 y값이 서로 같습니다.

f(x) = g(x) ⟹ f(x) − g(x) = 0

이때 좌변은 이차식이 되므로, 위 식은 하나의 이차방정식입니다. 이 이차방정식의 실근이 바로 두 교점의 x좌표가 됩니다.

왜 ‘실근 = 교점의 x좌표’일까?

이차함수 y = x² + bx + c 와 직선 y = mx + n 의 교점을 구하는 과정을 따라가 봅시다.

교점 조건 세우기 — 교점은 두 그래프 위에 동시에 있는 점이므로, x좌표가 같을 때 y값도 같습니다. 즉 x² + bx + c = mx + n.
한 변으로 이항 — 우변을 좌변으로 옮겨 x² + (b − m)x + (c − n) = 0 꼴의 이차방정식을 만듭니다.
실근의 의미 — 이 방정식을 만족하는 x값이 곧 ‘두 그래프가 만나는 지점의 x좌표’입니다. 두 근을 x₁, x₂ 라 하면 교점은 A(x₁, mx₁+n), B(x₂, mx₂+n) 입니다.
판별식으로 교점 개수 판단 — 위 이차방정식의 판별식을 D라 하면
· D > 0 → 서로 다른 두 점에서 만남 (교점 2개)
· D = 0 → 한 점에서 만남 (접함, 교점 1개)
· D < 0 → 만나지 않음 (교점 0개)

👉 핵심은 “그래프의 교점 문제 = 이차방정식 문제”로 바꾸는 것입니다. 한번 이차방정식으로 옮기면, 이후엔 근과 계수의 관계(x₁+x₂, x₁x₂)나 근의 공식으로 자유롭게 다룰 수 있습니다.

이차함수 y = x² 와 직선 y = 2x + 3 의 두 교점의 좌표를 구해 봅시다.

두 식의 y를 같게 놓으면
x² = 2x + 3 ⟹ x² − 2x − 3 = 0 ⟹ (x − 3)(x + 1) = 0

따라서 x = 3 또는 x = −1. 각 x값을 직선(또는 이차함수)에 대입하면

교점은 A(−1, 1), B(3, 9) 입니다.

이차함수 y = (x − 2)² 와 직선 y = m (단, m > 0) 이 서로 다른 두 점 A, B 에서 만날 때, 두 교점의 x좌표의 합과 곱을 구해 봅시다. (유형11 · 0058 유형)

교점 조건: (x − 2)² = m ⟹ x² − 4x + 4 − m = 0

두 근을 α, β(= A, B의 x좌표)라 하면 근과 계수의 관계에 의해

α + β = 4, αβ = 4 − m

이처럼 근을 직접 구하지 않고도 교점에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. 이후 ‘내분점·중점’ 조건이 붙으면 이 합·곱을 그대로 활용합니다.

⚠ 자주 나오는 실수

① 이항할 때 부호 실수 — f(x) = g(x)에서 한 변으로 옮길 때 g(x)의 모든 항 부호를 바꿔야 합니다.

② x좌표만 구하고 끝내기 — 문제가 ‘교점의 좌표’를 물으면 구한 x를 식에 대입해 y좌표까지 반드시 구합니다.

③ 근을 억지로 직접 계산 — 합·곱만 필요한 문제라면 근의 공식 대신 근과 계수의 관계로 훨씬 빠르게 풀립니다.