📌 핵심 공식 한눈에 보기
① 중점 공식 — 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)의 중점 M은
M = ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 )
② 근과 계수의 관계로 연결 — 이차함수와 직선의 두 교점의 x좌표 α, β는 이차방정식 ax²+bx+c=0의 두 근이므로
α+β = −b/a ⟹ 중점의 x좌표 = (α+β)/2 = −b/(2a)
③ 중점의 y좌표 — 두 교점은 모두 직선 위에 있으므로, 중점의 x좌표를 직선 방정식에 대입해 구한다.
이차함수와 직선의 교점에서 중점을 빠르고 정확하게 구하는 감각을 잡는 단계입니다. 기본형 3문제로 중점 공식을, 응용형 2문제로 근과 계수의 관계 → 중점 연결을 손에 익혀 보세요.
🔷 기본형 — 중점 직접 계산
[기본 1] 이차함수의 그래프와 직선의 두 교점이 A(1, 2), B(7, 6)일 때, 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구하시오.
풀이 펼쳐보기 ▼
y좌표 : (2+6)/2 = 4
∴ 중점 M( 4, 4 )
[기본 2] 두 교점이 A(−3, 5), B(5, −1)일 때, 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구하시오.
풀이 펼쳐보기 ▼
y좌표 : (5+(−1))/2 = 2
∴ 중점 M( 1, 2 )
[기본 3] 이차함수와 직선의 두 교점의 x좌표가 이차방정식 x²−8x+7=0의 두 실근일 때, 두 교점의 중점의 x좌표를 구하시오.
풀이 펼쳐보기 ▼
중점의 x좌표 = (α+β)/2 = 8/2 = 4
🔶 응용형 — 중점 조건으로 미지수·길이 구하기
[응용 1] 이차함수 y=x²−2x−3의 그래프와 직선 y=mx+n이 서로 다른 두 점 A, B에서 만난다. 선분 AB의 중점이 (2, 3)일 때, mn의 값을 구하시오.
풀이 펼쳐보기 ▼
① 중점의 x좌표 : (α+β)/2 = (2+m)/2 = 2 ⟹ 2+m = 4 ⟹ m = 2
② 중점은 직선 위에 있으므로 직선에 (2, 3) 대입 : 3 = 2·2 + n ⟹ n = −1
∴ mn = 2·(−1) = −2
[응용 2] 이차함수 y=ax²(a>0)의 그래프와 직선 y=x+2가 두 점 P, Q에서 만난다. 선분 PQ의 중점 M에서 y축에 내린 수선의 발을 H라 하면 MH = 1/2이다. 이때 선분 PQ의 길이를 구하시오.
풀이 펼쳐보기 ▼
α+β = 1/a 이므로 중점 M의 x좌표 = (α+β)/2 = 1/(2a)
MH는 M에서 y축까지의 거리 = |중점의 x좌표| 이므로 1/(2a) = 1/2 ⟹ a = 1
a=1 대입 : x²−x−2=0 ⟹ (x−2)(x+1)=0 ⟹ x = 2 또는 x = −1
직선 y=x+2 위의 점이므로 P(−1, 1), Q(2, 4)
PQ = √{(2−(−1))² + (4−1)²} = √(9+9) = √18 = 3√2
⚠️ 자주 나오는 실수
• 중점의 x좌표는 (α+β)/2 입니다. 근과 계수의 관계로 구한 α+β를 그대로 쓰지 말고 반드시 2로 나누세요.
• 근과 계수의 관계에서 α+β = −b/a — 부호(−)를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.
• 중점의 y좌표는 이차함수가 아니라 직선 방정식에 중점의 x좌표를 대입해 구합니다. (두 교점이 모두 직선 위에 있기 때문)