📌 핵심 — 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리
삼각형 ABC의 외심을 P(x, y)라 하면, 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있으므로
PA = PB = PC
근호를 그대로 두지 말고 양변을 제곱해서 다음 두 식만 연립하면 됩니다.
PA² = PB² 그리고 PB² = PC²
⚡ 식은 2개면 충분 — 세 식(PA²=PB², PB²=PC², PA²=PC²) 중 두 개만 독립입니다. 두 식을 연립해 푼 (x, y)가 곧 외심의 좌표예요. 나머지 한 식은 자동으로 성립하니 검산용으로만 쓰세요.
아래 문제로 외심을 P(x, y)로 놓기 → PA²=PB², PB²=PC² 전개 → 일차식 연립 풀기의 흐름을 손에 익혀 보세요. 전개할 때 x², y² 항은 항상 사라지고 일차방정식만 남는다는 점이 핵심입니다.
기본형 — 세 점 좌표로 외심 구하기
기본 1. 세 점 A(2, 3), B(3, 2), C(−1, 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심의 좌표를 구하여라.
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① PA² = PB²
(x−2)² + (y−3)² = (x−3)² + (y−2)²
−4x − 6y + 13 = −6x − 4y + 13
2x − 2y = 0 ⟹ x = y …①
② PB² = PC²
(x−3)² + (y−2)² = (x+1)² + y²
−6x − 4y + 13 = 2x + 1
−8x − 4y + 12 = 0 ⟹ 2x + y = 3 …②
①을 ②에 대입: 2x + x = 3 ⟹ x = 1, y = 1
∴ 외심 (1, 1)
기본 2. 세 점 A(3, 5), B(5, 3), C(1, −1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심의 좌표를 구하여라.
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① PA² = PB²
(x−3)² + (y−5)² = (x−5)² + (y−3)²
−6x − 10y + 34 = −10x − 6y + 34
4x − 4y = 0 ⟹ x = y …①
② PB² = PC²
(x−5)² + (y−3)² = (x−1)² + (y+1)²
−10x − 6y + 34 = −2x + 2y + 2
−8x − 8y + 32 = 0 ⟹ x + y = 4 …②
①을 ②에 대입: 2x = 4 ⟹ x = 2, y = 2
∴ 외심 (2, 2)
기본 3. 세 점 A(7, 7), B(8, 0), C(0, 6)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심의 좌표를 구하여라.
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① PA² = PB²
(x−7)² + (y−7)² = (x−8)² + y²
−14x − 14y + 98 = −16x + 64
2x − 14y + 34 = 0 ⟹ x = 7y − 17 …①
② PB² = PC²
(x−8)² + y² = x² + (y−6)²
−16x + 64 = −12y + 36
−16x + 12y + 28 = 0 ⟹ 4x − 3y = 7 …②
①을 ②에 대입: 4(7y − 17) − 3y = 7 ⟹ 28y − 68 − 3y = 7 ⟹ 25y = 75
y = 3, x = 7·3 − 17 = 4
∴ 외심 (4, 3)
응용형 — 외심 좌표로 값 구하기 · 미지수가 있는 경우
응용 1. 세 점 A(−1, 0), B(2, 6), C(5, −3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심을 P(x, y)라 할 때, x + y의 값을 구하여라.
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① PA² = PB²
(x+1)² + y² = (x−2)² + (y−6)²
2x + 1 = −4x − 12y + 40
6x + 12y − 39 = 0 ⟹ 2x + 4y = 13 …①
② PB² = PC²
(x−2)² + (y−6)² = (x−5)² + (y+3)²
−4x − 12y + 40 = −10x + 6y + 34
6x − 18y + 6 = 0 ⟹ x = 3y − 1 …②
②를 ①에 대입: 2(3y − 1) + 4y = 13 ⟹ 10y = 15 ⟹ y = 3/2
x = 3·(3/2) − 1 = 7/2
외심 P(7/2, 3/2) ⟹ x + y = 7/2 + 3/2 = 5
응용 2. 세 점 A(−2, 4), B(4, 4), C(1, k) (k > 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심이 점 (1, 0)일 때, 상수 k의 값과 외접원의 반지름을 구하여라.
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(반지름을 구하려면 거리² 하나만 계산하면 되고, k는 PA = PC를 이용한다.)
PA² 계산
PA² = (1−(−2))² + (0−4)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
PA² = PC² 로 k 구하기
PC² = (1−1)² + (0−k)² = k²
25 = k² ⟹ k = ±5, k > 0이므로 k = 5
외접원의 반지름
R = PA = √25 = 5
(검산: PB² = (1−4)² + (0−4)² = 9 + 16 = 25 = R² ✓)
⚠ 자주 나오는 실수
- 근호를 그대로 두고 계산 — PA = PB = PC를 √ 상태로 풀면 식이 복잡해집니다. 반드시 양변을 제곱해 PA² = PB² 꼴로 바꾸세요. 이때 x², y² 항은 항상 소거되어 일차식만 남습니다.
- 식 3개를 다 연립 — PA²=PB², PB²=PC², PA²=PC² 중 독립인 식은 2개뿐입니다. 두 개만 연립하면 충분하고, 세 번째는 검산용입니다.
- 직각삼각형인데 끝까지 연립 — 한 각이 90°인 직각삼각형이면 외심 = 빗변의 중점이라 곧바로 중점 공식으로 끝납니다. 모양을 먼저 확인하면 시간을 아낄 수 있어요.