📐 핵심 — 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리
삼각형 ABC의 외심 P(x, y)는 세 꼭짓점에서 거리가 모두 같습니다.
PA = PB = PC ( = 외접원의 반지름 R )
이 등식을 그대로 풀기엔 √(루트)가 걸림돌이므로, 양변을 제곱해 무리식을 없앤 두 식을 연립합니다.
PA² = PB² 그리고 PB² = PC² → x, y에 대한 일차식 2개 연립
왜 PA²=PB², PB²=PC² 연립으로 풀릴까?
세 꼭짓점을 A(a₁, b₁), B(a₂, b₂), C(a₃, b₃), 구하려는 외심을 P(x, y)라 두고 단계별로 따라가 봅니다.
1단계 — 외심의 정의를 식으로
외심은 외접원의 중심이므로 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 반지름 R로 같습니다. → PA = PB = PC
2단계 — 양변을 제곱해 루트 제거
거리는 항상 0 이상이므로 PA = PB ⇔ PA² = PB² 가 성립합니다. 제곱하면 √ 가 사라져 다항식만 남습니다.
3단계 — 전개하면 x², y²이 소거된다
→ x², y² 항이 양변에서 똑같이 소거 → x, y에 대한 일차방정식 한 개
4단계 — 두 일차식을 연립
같은 방식으로 PB² = PC²에서 또 하나의 일차방정식을 얻습니다. 미지수 2개(x, y)에 일차식 2개 → 연립하면 외심 좌표가 단 하나로 결정됩니다.
적용 예제
예제 1 · 기본 — 세 점으로 외심 구하기
세 점 A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 외심 P의 좌표를 구하여라.
▶ 풀이 펼쳐보기
외심을 P(x, y)라 하면 PA = PB = PC.
① PA² = PB²
x² + y² = (x − 6)² + y²
0 = −12x + 36 → x = 3
② PB² = PC²
(x − 6)² + y² = (x − 2)² + (y − 4)²
−12x + 36 = −4x + 20 − 8y
8y = 8x − 16 → y = x − 2
③ 연립 : x = 3 을 대입하면 y = 3 − 2 = 1
∴ 외심 P(3, 1) (검산: PA² = PB² = PC² = 10, R = √10)
예제 2 · 학교기출 대표유형 — 외심 좌표로 x+y 구하기
세 점 A(−1, 0), B(2, 6), C(5, −3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 외심을 P(x, y)라 할 때, x + y의 값을 구하여라.
▶ 풀이 펼쳐보기
외심 P(x, y)에 대해 PA = PB = PC 이므로 두 식을 제곱하여 세운다.
① PA² = PB²
(x + 1)² + y² = (x − 2)² + (y − 6)²
2x + 1 = −4x − 12y + 40
6x + 12y = 39 → 2x + 4y = 13 …(가)
② PB² = PC²
(x − 2)² + (y − 6)² = (x − 5)² + (y + 3)²
−4x − 12y + 40 = −10x + 6y + 34
6x − 18y = −6 → x − 3y = −1 …(나)
③ 연립 : (나)에서 x = 3y − 1. (가)에 대입
2(3y − 1) + 4y = 13 → 10y = 15 → y = 3/2
x = 3 · (3/2) − 1 = 7/2
∴ P(7/2, 3/2) 이므로 x + y = 7/2 + 3/2 = 5
자주 나오는 실수
① 루트를 안 없애고 그대로 푼다. PA = PB 상태로 √끼리 계산하면 식이 복잡해집니다. 반드시 양변을 제곱한 뒤 전개하세요.
② 세 식(PA²=PB²=PC²)을 모두 쓴다. 두 식이면 충분합니다. 세 식을 쓰면 종속식이 하나 늘어 계산만 길어집니다.
③ 전개 부호 실수. (y − 6)², (y + 3)² 처럼 부호가 다른 항을 전개할 때 중간항 부호를 가장 많이 틀립니다. 한 줄씩 천천히 정리하세요.
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이 개념, 직접 풀어볼까요?
외심 좌표 구하기는 손으로 식을 세워 연립해 봐야 빨라집니다. 아래 연산연습으로 마무리하세요.
P-외심01 · PA=PB=PC 연립으로 외심 구하기 P-외심02 · 직각삼각형 외심 = 빗변의 중점 P-외심03 · 외접원 반지름(외심~꼭짓점 거리)