삼각형의 외심 — 정의·작도법·성질(OA=OB=OC)

📌 핵심 정의 · 삼각형의 외심

삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나며, 이 교점을 삼각형의 외심이라 한다.

외심을 O라 할 때 OA = OB = OC 가 성립하고, 이 길이가 곧 외접원의 반지름 R이다. (외심 = 외접원의 중심)

외심 작도법과 OA=OB=OC가 성립하는 이유

작도법 (수직이등분선 2개면 충분)

왜 OA=OB=OC인가 — 핵심은 “수직이등분선 위의 점은 양 끝점에서 거리가 같다”는 성질이다.

좌표평면에서는? 외심을 P(x, y)로 놓고 PA = PB = PC를 PA² = PB², PB² = PC² 두 식으로 바꿔 연립하면 외심의 좌표를 구할 수 있다. (구체적 계산은 아래 ‘관련 개념정리’의 C-외심02 참고)

예제. 세 점 A(−1, 0), B(2, 6), C(5, −3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심이 P(7/2, 3/2)임이 알려져 있다. PA = PB = PC가 성립함을 확인하고, 외접원의 반지름을 구하여라.

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거리 공식 대신 거리의 제곱으로 비교하면 계산이 간단하다.

PA² = (7/2 − (−1))² + (3/2 − 0)² = (9/2)² + (3/2)² = 81/4 + 9/4 = 90/4

PB² = (7/2 − 2)² + (3/2 − 6)² = (3/2)² + (−9/2)² = 9/4 + 81/4 = 90/4

PC² = (7/2 − 5)² + (3/2 − (−3))² = (−3/2)² + (9/2)² = 9/4 + 81/4 = 90/4

세 값이 모두 90/4로 같으므로 PA = PB = PC. 즉 P는 외심이 맞다.

외접원의 반지름 R = √(90/4) = (√90)/2 = (3√10)/2

※ 외심의 좌표 P(7/2, 3/2)를 직접 구하는 과정(PA²=PB², PB²=PC² 연립)은 C-외심02에서 단계별로 다룬다.

⚠ 자주 나오는 실수

외심·내심·무게중심 혼동 — 외심은 세 변의 수직이등분선 교점(세 꼭짓점에서 등거리), 내심은 각의 이등분선 교점(세 변에서 등거리), 무게중심은 세 중선의 교점이다.
외심이 항상 삼각형 안에 있다고 생각하기 — 예각삼각형은 내부, 직각삼각형은 빗변의 중점(변 위), 둔각삼각형은 외부에 놓인다.