핵심 정의 · 공식
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.
∠C = 90° 인 직각삼각형 ABC에서 빗변 AB의 중점을 M이라 하면
MA = MB = MC → 점 M이 외심
외접원의 반지름 R = ½ × (빗변의 길이) = ½ AB
왜 빗변의 중점이 외심일까?
외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점입니다. 직각삼각형을 좌표평면에 놓고 빗변의 중점이 이 조건을 만족하는지 직접 계산해 봅시다.
1단계 · 직각을 원점에 놓기
∠C = 90° 이므로 C(0, 0), A(a, 0), B(0, b) 로 놓습니다. (직각을 낀 두 변을 x축·y축에 일치)
2단계 · 빗변 AB의 중점 M 구하기
M = ( a/2 , b/2 )
3단계 · M에서 세 꼭짓점까지의 거리 계산
MC = √{ (a/2)² + (b/2)² } = ½√(a² + b²)
MA = √{ (a/2 − a)² + (b/2)² } = ½√(a² + b²)
MB = √{ (a/2)² + (b/2 − b)² } = ½√(a² + b²)
4단계 · 결론
MA = MB = MC = ½√(a² + b²) 이므로 M은 세 꼭짓점에서 같은 거리 → M이 외심.
또한 AB = √(a² + b²) 이므로 R = ½ AB.
※ 반원에 대한 원주각은 90°라는 탈레스 정리의 역으로도 같은 결론을 얻습니다. 빗변 AB를 지름으로 하는 원 위에 직각의 꼭짓점 C가 놓이기 때문입니다.
적용 예제
예제 1. ∠O = 90° 인 직각삼각형 OAB에서 O(0, 0), A(6, 0), B(0, 8)일 때 외심과 외접원의 반지름을 구하시오.
직각이 ∠O이므로 빗변은 AB. 외심은 AB의 중점.
외심 = ( (6+0)/2 , (0+8)/2 ) = (3, 4)
R = ½ AB = ½√(6² + 8²) = ½ × 10 = 5
검산: (3, 4)에서 O(0,0)까지 = √(3² + 4²) = 5 ✓
예제 2. x축 위의 점 A, y축 위의 점 B와 원점 O로 이루어진 직각삼각형 OAB(∠O = 90°)의 외심이 (8, 6)일 때, 외접원의 반지름을 구하시오.
빗변 AB의 중점이 외심 (8, 6)이고 A는 x축, B는 y축 위에 있으므로
A(16, 0), B(0, 12)
R = 외심에서 O까지의 거리 = √(8² + 6²) = 10
또는 R = ½ AB = ½√(16² + 12²) = ½ × 20 = 10 ✓
⚠ 자주 나오는 실수
① 직각삼각형일 때만 성립하는 성질입니다. 일반 삼각형은 빗변의 중점이 외심이 아니므로 PA = PB, PB = PC 연립으로 구해야 합니다.
② 중점을 잡을 변은 직각의 대변(빗변)입니다. 직각을 낀 다른 변의 중점을 잡지 않도록 주의하세요.