외접원의 반지름과 외심까지의 거리 — OA=R 활용

📌 핵심 정의 · 외접원의 반지름 R

삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원, 그 중심을 외심 O라 한다. 외접원의 반지름을 R라 하면

R = OA = OB = OC

즉 외심에서 어느 꼭짓점까지의 거리든 모두 R로 같다. 외심 좌표를 구한 뒤 한 꼭짓점까지의 거리 한 번만 계산하면 R를 얻을 수 있다.

왜 OA=OB=OC=R 인가 — 그리고 어떻게 쓰는가

1단계. 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다. 그 공통 거리가 곧 외접원의 반지름이다. → OA = OB = OC = R

2단계. 좌표평면에서 외심 O(x, y)를 알면, 반지름은 두 점 사이의 거리 공식으로

R = OA = √{(x − x₁)² + (y − y₁)²}

꼭짓점 A, B, C 중 아무거나 하나만 넣으면 된다. (세 값이 모두 같아야 하므로, 다른 꼭짓점으로 한 번 더 계산하면 검산이 된다.)

직각삼각형이면 지름길. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이고, 빗변이 외접원의 지름이다. 따라서 R = (빗변의 길이) ÷ 2, 거꾸로 빗변 = 2R. (자세한 성질은 아래 ‘관련 개념정리’의 C-외심03 참고)

⚑ 거꾸로도 쓴다. ∠A=90°인 직각삼각형에서 빗변 BC는 지름이므로 BC = 2R, 이때 피타고라스 정리로 AB² + AC² = BC² = (2R)² = 4R². R(또는 외심까지의 거리)를 알면 두 변의 제곱의 합을 곧바로 구할 수 있다.

예제 1 (기본). 세 점 A(−1, 0), B(2, 6), C(5, −3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심이 O(7/2, 3/2)일 때, 외접원의 반지름 R를 구하여라.

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R = OA 이므로 외심 O(7/2, 3/2)와 꼭짓점 A(−1, 0) 사이의 거리를 구한다.

R² = (7/2 − (−1))² + (3/2 − 0)² = (9/2)² + (3/2)² = 81/4 + 9/4 = 90/4

R = √(90/4) = (√90)/2 = (3√10)/2

※ 검산: OB² = (7/2−2)² + (3/2−6)² = (3/2)² + (−9/2)² = 9/4 + 81/4 = 90/4 ✓ — 같은 값이므로 O가 외심임이 확인된다.

예제 2 (대표 기출 · 0022형). x축 위의 점 A, y축 위의 점 B와 원점에서 직각인 직각삼각형이 있다. 이 삼각형의 외심의 좌표가 (8, 6)일 때, 외심과 직각인 꼭짓점 사이의 거리를 구하여라.

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직각인 꼭짓점은 원점 P(0, 0)이고, 직각삼각형이므로 외심은 빗변 AB의 중점이다. 외심 (8, 6)이 곧 외접원의 중심.

구하는 거리는 외심에서 꼭짓점 P까지의 거리 = 외접원의 반지름 R 이다.

R = √{(8 − 0)² + (6 − 0)²} = √(64 + 36) = √100 = 10

※ 검산: 빗변 AB = 2R = 20. 외심이 (8,6)이므로 A(16, 0), B(0, 12)이고 외심에서 A까지 √(8²+6²)=10 ✓, B까지도 10 ✓.

예제 3 (한 걸음 더 · 0023형). 점 A(2, 1)을 한 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 외심 P(−1, −1)이 변 BC 위에 있을 때, AB² + AC²의 값을 구하여라.

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외심이 변 BC 위에 있으면 BC는 지름이고, 이 삼각형은 ∠A = 90°인 직각삼각형이다.

반지름 R = PA = √{(2−(−1))² + (1−(−1))²} = √(3² + 2²) = √13

빗변 BC = 2R = 2√13 → BC² = (2√13)² = 4·13 = 52

∠A = 90° 이므로 피타고라스 정리에 의해 AB² + AC² = BC² = 52

⚠ 자주 나오는 실수