두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지

📌 핵심 공식

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리는

AB = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²}

특히 원점 O와 점 P(x, y) 사이의 거리는

OP = √(x² + y²)

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂) 사이의 거리는 AB = |x₂ − x₁|

공식은 왜 이렇게 생겼을까? — 피타고라스 정리로 유도

두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 좌표평면에 찍고, 직각삼각형을 만들어 봅니다.

두 점을 지나는 가로·세로 보조선의 교점 C(x₂, y₁)를 잡으면, 삼각형 ABC는 ∠C = 90°인 직각삼각형이 됩니다.
밑변의 길이는 x좌표의 차 → AC = |x₂ − x₁|
높이는 y좌표의 차 → BC = |y₂ − y₁|
피타고라스 정리 AB² = AC² + BC² 에 대입하면
AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² → AB = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²}

💡 절댓값을 제곱하면 부호가 사라지므로, 공식에서는 | |를 떼고 그냥 제곱해도 됩니다. 어느 점을 A, B로 두든 결과는 같습니다.

예제 1. 좌표를 그대로 대입하기

두 점 A(1, 2), B(4, 6) 사이의 거리를 구해 봅시다.

풀이 펼쳐보기

AB = √{(4 − 1)² + (6 − 2)²} = √{3² + 4²} = √{9 + 16} = √25 = 5

예제 2. 거리 조건으로 미지수 구하기

두 점 A(1, 3), B(2, a) 사이의 거리가 √17일 때, 양수 a의 값을 구해 봅시다.

풀이 펼쳐보기

AB² = (2 − 1)² + (a − 3)² = 17

1 + (a − 3)² = 17 → (a − 3)² = 16 → a − 3 = ±4

a = 7 또는 a = −1 → 양수이므로 a = 7

⚠ 자주 나오는 실수

• 제곱근(√)을 빼먹고 AB² 값을 거리로 답하는 경우 → 마지막에 √를 꼭 확인.

• 거리 조건은 보통 양변을 제곱해 풀면 간단해집니다. √를 그대로 두고 계산하다 실수하기 쉬움.

이 개념, 직접 풀어볼까요? ✏️

공식을 외웠다면 손이 기억할 때까지 반복하는 게 핵심입니다.