이차방정식 세우기 — 거리 조건으로 미지수 구하기 | 공통수학2 1단원

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핵심 한 줄

거리 조건이 주어지면 거리 공식에 대입 → 양변 제곱의 두 단계만 거치면, 미지수에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 이차방정식을 풀면 미지수의 값을 구할 수 있습니다.

두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리
AB = √{ (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² }

거리 조건 AB = k → 양변 제곱 →
(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² = k²

왜 ‘이차방정식’이 될까?

좌표 안에 미지수 a가 들어 있는 경우를 따라가 봅시다.

  1. 좌표에 a가 있으면, (x₂−x₁)이나 (y₂−y₁)이 a에 대한 일차식이 됩니다.
  2. 거리 공식 안에서 이 일차식을 제곱하므로 a² 항이 생깁니다. → 식 전체가 a에 대한 이차식.
  3. 여기에 거리 조건(= k²)을 등호로 연결하면, 정리했을 때 a에 대한 이차방정식이 완성됩니다.

즉 “거리 조건 → 미지수” 문제의 본질은 이차방정식 세우고 풀기입니다. 근이 두 개 나오면 둘 다 답이 될 수 있다는 점이 핵심.

적용 예제 1 — 거리 조건으로 a의 합 구하기

두 점 A(3, 3), B(a, −2) 사이의 거리가 5√2일 때, 모든 실수 a의 값의 합을 구해 봅시다.

① 거리 공식에 대입
AB² = (a−3)² + (−2−3)² = (a−3)² + 25

② 거리 조건을 제곱해서 연결  ( (5√2)² = 50 에 주의 )
(a−3)² + 25 = 50  →  (a−3)² = 25

③ 이차방정식 풀기
a − 3 = ±5  →  a = 8 또는 a = −2

④ 모든 실수 a의 합
8 + (−2) = 6

전개하면 a² − 6a − 16 = 0 이므로, 근과 계수의 관계(두 근의 합 = 6)로도 곧장 6을 얻을 수 있습니다.

적용 예제 2 — 거리의 비 조건 (AC = 2BC)

세 점 A(−5, a), B(1, 2), C(3, 6)에 대하여 AC = 2BC일 때, 모든 실수 a의 값의 합을 구해 봅시다.

① 비 조건은 제곱해서 다루기  ( AC = 2BC → AC² = 4BC² )

AC² = (3−(−5))² + (6−a)² = 64 + (6−a)²
BC² = (3−1)² + (6−2)² = 4 + 16 = 20

② 방정식 세우기
64 + (6−a)² = 4 × 20 = 80
(6−a)² = 16

③ 풀기
6 − a = ±4  →  a = 2 또는 a = 10

④ 합 : 2 + 10 = 12

⚠ 자주 나오는 실수

  • 양변 제곱 시 우변(거리값)도 반드시 제곱. (5√2)² = 50 이지 5² = 25 가 아닙니다.
  • (6−a)² = (a−6)² 로 같지만, 전개·정리 단계에서 부호를 한 번씩 꼭 확인.
  • “모든 실수 a의 합”은 두 근의 합입니다. 한 근만 구하고 끝내지 말 것 — 두 근을 모두 구하거나 근과 계수의 관계를 활용하세요.

함께 보면 좋은 개념

이 개념, 직접 풀어볼까요?

거리 조건 → 이차방정식 세우기, 반복 훈련으로 손에 익히기

▶ 두 점 사이의 거리 공식 반복 계산 훈련 (P-거리01) ▶ 거리 조건으로 이차방정식 세우고 풀기 훈련 (P-거리02)

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