📌 핵심 공식 — 두 점 사이의 거리
좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리는
AB = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²}
※ 원점 O(0, 0)와 점 A(x₁, y₁) 사이의 거리는 OA = √(x₁² + y₁²)
아래 문제로 좌표 대입 → 차의 제곱 계산 → 근호 정리의 흐름을 손에 익혀 보세요. 부호 처리만 정확하면 거의 자동으로 풀립니다.
기본형 — 좌표 대입으로 거리 구하기
기본 1. 두 점 A(1, 2), B(4, 6) 사이의 거리 AB를 구하여라.
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AB² = (4 − 1)² + (6 − 2)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
따라서 AB = √25 = 5
따라서 AB = √25 = 5
기본 2. 두 점 A(−2, 3), B(3, −9) 사이의 거리 AB를 구하여라.
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AB² = (3 − (−2))² + (−9 − 3)² = 5² + (−12)² = 25 + 144 = 169
따라서 AB = √169 = 13
따라서 AB = √169 = 13
기본 3. 원점 O와 점 A(8, −6) 사이의 거리 OA를 구하여라.
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OA² = 8² + (−6)² = 64 + 36 = 100
따라서 OA = √100 = 10
따라서 OA = √100 = 10
응용형 — 미지수·조건이 주어진 경우
응용 1. 두 점 A(3, 3), B(a, −2) 사이의 거리가 5√2일 때, 모든 실수 a의 값의 합을 구하여라.
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거리 조건의 양변을 제곱하여 식을 세운다.
AB² = (a − 3)² + (−2 − 3)² = (a − 3)² + 25
(5√2)² = 50 이므로 (a − 3)² + 25 = 50 → (a − 3)² = 25
정리하면 a² − 6a + 9 − 25 = 0 → a² − 6a − 16 = 0
이 이차방정식의 두 근이 곧 조건을 만족하는 a값이므로, 근과 계수의 관계로 합을 바로 구한다.
(모든 실수 a의 합) = 6 (참고: a = 8 또는 a = −2)
AB² = (a − 3)² + (−2 − 3)² = (a − 3)² + 25
(5√2)² = 50 이므로 (a − 3)² + 25 = 50 → (a − 3)² = 25
정리하면 a² − 6a + 9 − 25 = 0 → a² − 6a − 16 = 0
이 이차방정식의 두 근이 곧 조건을 만족하는 a값이므로, 근과 계수의 관계로 합을 바로 구한다.
(모든 실수 a의 합) = 6 (참고: a = 8 또는 a = −2)
응용 2. 두 점 A(2t, −3), B(−1, 2t)에 대하여 선분 AB의 길이를 l이라 할 때, l²의 최솟값을 구하여라.
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거리 공식으로 l²을 t에 대한 식으로 나타낸다.
l² = (−1 − 2t)² + (2t − (−3))² = (2t + 1)² + (2t + 3)²
= (4t² + 4t + 1) + (4t² + 12t + 9) = 8t² + 16t + 10
완전제곱식으로 변형하면
l² = 8(t² + 2t) + 10 = 8(t + 1)² − 8 + 10 = 8(t + 1)² + 2
8(t + 1)² ≥ 0 이므로 t = −1일 때 l²의 최솟값은 2
l² = (−1 − 2t)² + (2t − (−3))² = (2t + 1)² + (2t + 3)²
= (4t² + 4t + 1) + (4t² + 12t + 9) = 8t² + 16t + 10
완전제곱식으로 변형하면
l² = 8(t² + 2t) + 10 = 8(t + 1)² − 8 + 10 = 8(t + 1)² + 2
8(t + 1)² ≥ 0 이므로 t = −1일 때 l²의 최솟값은 2
⚠ 자주 나오는 실수
- 좌표를 뺄 때 부호를 빠뜨리는 경우 — (x₂ − x₁)에서 x₁이 음수면 −(−2) = +2 임을 잊지 않기.
- 거리 조건이 주어지면 근호 상태로 두지 말고 먼저 양변을 제곱해 식을 세우기.
- 제곱하면서 부호를 놓쳐 (−12)²을 −144로 잘못 쓰는 경우 — 제곱은 항상 0 이상.