📌 핵심 공식 한눈에
두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리
AB = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²}
① 거리 조건이 주어지면 양변을 제곱해 √를 없앤다.
② 정리하면 미지수에 대한 이차방정식이 나온다.
③ 두 근의 합·곱은 근과 계수의 관계로 바로 구한다. → 합 = −b/a, 곱 = c/a
아래 5문제를 직접 손으로 풀고, 풀이 토글을 펼쳐 과정을 확인하세요. 거리 조건 → 제곱 → 이차방정식 정리의 흐름을 반복하면 계산이 빨라집니다.
기본형 · 좌표 대입으로 이차방정식 세우기
[기본 1] 두 점 A(1, 2), B(a, 5) 사이의 거리가 5일 때, 모든 실수 a의 값의 합을 구하여라.
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AB² = (a − 1)² + (5 − 2)² = 5²
(a − 1)² + 9 = 25 → (a − 1)² = 16
a² − 2a + 1 = 16 → a² − 2a − 15 = 0
근과 계수의 관계로 두 근의 합 = −(−2)/1 = 2 (a = 5, −3)
[기본 2] 두 점 A(−2, 3), B(4, a) 사이의 거리가 6√2일 때, 모든 실수 a의 값의 곱을 구하여라.
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AB² = (4 − (−2))² + (a − 3)² = (6√2)²
36 + (a − 3)² = 72 → (a − 3)² = 36
a² − 6a + 9 = 36 → a² − 6a − 27 = 0
두 근의 곱 = (−27)/1 = −27 (a = 9, −3)
[기본 3] 두 점 A(a, 1), B(3, a) 사이의 거리가 √10일 때, 모든 실수 a의 값의 합을 구하여라.
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AB² = (3 − a)² + (a − 1)² = 10
(9 − 6a + a²) + (a² − 2a + 1) = 10
2a² − 8a + 10 = 10 → 2a² − 8a = 0 → a² − 4a = 0
a(a − 4) = 0 → 두 근의 합 = 4 (a = 0, 4)
응용형 · 조건이 결합된 거리 방정식
[응용 1] 두 점 A(a, a), B(3, −1) 사이의 거리가 2√5일 때, 모든 실수 a의 값의 곱을 구하여라.
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AB² = (3 − a)² + (−1 − a)² = (2√5)² = 20
(9 − 6a + a²) + (1 + 2a + a²) = 20
2a² − 4a + 10 = 20 → 2a² − 4a − 10 = 0 → a² − 2a − 5 = 0
두 근의 곱 = (−5)/1 = −5 (근은 a = 1 ± √6)
[응용 2] 세 점 A(1, a), B(4, −2), C(−1, 1)에 대하여 AB = 2AC일 때, 모든 실수 a의 값의 합을 구하여라.
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AB² = (4 − 1)² + (−2 − a)² = 9 + (a + 2)²
AC² = (−1 − 1)² + (1 − a)² = 4 + (1 − a)²
AB = 2AC → 양변 제곱: AB² = 4·AC²
9 + (a + 2)² = 4{4 + (1 − a)²}
a² + 4a + 13 = 20 − 8a + 4a²
3a² − 12a + 7 = 0 (판별식 = 144 − 84 = 60 > 0, 서로 다른 두 실근)
두 근의 합 = −(−12)/3 = 4
⚠️ 자주 나오는 실수
• 합·곱은 근과 계수의 관계로 바로 구한다. 두 근을 일일이 구하느라 시간 낭비하지 말 것.
• 거리 조건은 반드시 양변을 제곱해 √를 없앤 뒤 정리한다. √를 둔 채 계산하면 실수가 생긴다.
• (−1 − a)² = (1 + a)² 처럼 제곱 안 부호 처리를 빼먹지 말 것.
• (a − k)² = (음수) 꼴이 나오면 계산이 틀린 것 — 거리의 제곱은 음수가 될 수 없다.
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