삼각형의 각의 이등분선의 성질 — AB_AC=BD:DC 공식 유도와 적용

📌 핵심 정리 — 삼각형의 각의 이등분선의 성질

삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 하면

AB : AC = BD : DC

즉, 점 D는 변 BC를 AB : AC의 비로 내분하는 점입니다. 긴 변 쪽 꼭짓점에서 더 멀리, 즉 점 D는 짧은 변 쪽 꼭짓점에 가깝게 위치합니다.

왜 AB : AC = BD : DC 일까? — 평행선을 이용한 유도

평행선과 비례 관계(닮음)를 이용하면 깔끔하게 증명됩니다. 단계별로 따라가 봅시다.

보조선 긋기 — 점 C를 지나고 이등분선 AD에 평행한 직선을 그어, 변 BA의 연장선과 만나는 점을 E라 합니다. (AD ∥ EC)
각의 관계 — AD ∥ EC이므로
　∠BAD = ∠AEC (동위각),　∠DAC = ∠ACE (엇각)
이등변삼각형 발견 — AD는 ∠A의 이등분선이므로 ∠BAD = ∠DAC.
따라서 ∠AEC = ∠ACE 가 되어 삼각형 ACE는 AE = AC인 이등변삼각형입니다.
평행선과 비례 적용 — 삼각형 BCE에서 AD ∥ EC이므로
　BD : DC = BA : AE = AB : AC　∎

한 줄 요약 — “각을 이등분하면, 마주 보는 변도 두 이웃 변의 길이 비로 나뉜다.” 이 한 문장이 공식 전체입니다.

예제 1. 변의 길이로 BD, DC 구하기

삼각형 ABC에서 AB = 8, AC = 4, BC = 9 이고, ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점이 D일 때 BD와 DC의 길이를 구하시오.

① 각의 이등분선의 성질에서 　BD : DC = AB : AC = 8 : 4 = 2 : 1

② D는 BC(=9)를 2 : 1로 내분하므로

　BD = 9 × 2/(2+1) = 6,　DC = 9 × 1/(2+1) = 3

∴ BD = 6, DC = 3

예제 2. 좌표평면에서 점 D의 좌표 구하기

세 점 A(1, 5), B(−4, −7), C(5, 2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC에서, ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점 D의 좌표를 구하시오.

① 두 변의 길이 계산 (두 점 사이의 거리 공식)

　AB = √{(1−(−4))² + (5−(−7))²} = √(5² + 12²) = √169 = 13

　AC = √{(1−5)² + (5−2)²} = √((−4)² + 3²) = √25 = 5

② 각의 이등분선의 성질에서 　BD : DC = AB : AC = 13 : 5

③ D는 BC를 B에서 C 방향으로 13 : 5 내분하는 점이므로 (내분점 공식)

　x = (13×5 + 5×(−4)) / (13+5) = (65 − 20)/18 = 45/18 = 5/2

　y = (13×2 + 5×(−7)) / (13+5) = (26 − 35)/18 = −9/18 = −1/2

∴ D(5/2, −1/2) (참고: a + b = 5/2 + (−1/2) = 2)

⚠ 자주 나오는 실수

대응 순서 헷갈리기 — AB에 대응하는 분할은 B쪽 BD, AC에 대응하는 분할은 C쪽 DC입니다. AB : AC = BD : DC 순서를 그대로 맞춰야 합니다.
내분 방향 실수 — 좌표 문제에서 내분점 공식을 쓸 때 “B → C” 방향과 비율 m : n의 위치를 혼동하면 부호가 어긋납니다.
외각의 이등분선과 혼동 — 내각의 이등분선은 내분점, 외각의 이등분선은 외분점입니다.

이 개념, 직접 풀어볼까요?

공식을 눈으로만 보면 시험장에서 막힙니다. 손으로 반복 연습하면 비율 설정이 자동으로 됩니다.