📌 핵심 공식 — 좌표평면 위 선분의 내분점
두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 잇는 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P의 좌표는
P ( (mx₂ + nx₁) / (m+n) , (my₂ + ny₁) / (m+n) )
특수한 경우 — 중점 (m : n = 1 : 1)
M ( (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 )
⚡ 한 줄 요약: x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 같은 비율 m : n으로 따로따로 내분하면 끝. 이는 수직선(1차원) 내분점 공식을 두 축에 각각 적용한 것과 같다.
왜 좌표마다 따로 계산할까? — 수직선 공식의 2차원 확장
1단계 · 수직선(1차원)에서 출발. 수직선 위의 두 점 A(a), B(b)에 대해 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P의 좌표는
P = (mb + na) / (m+n)
입니다. (이것이 유형08에서 다룬 수직선 위의 내분점 공식입니다.)
2단계 · x축으로 그림자를 떨어뜨린다. 좌표평면 위의 점 A, P, B에서 x축에 수선의 발을 내리면 A′(x₁), P′(x), B′(x₂)가 됩니다. 세 수선은 모두 x축에 수직이므로 서로 평행합니다.
3단계 · 평행선이 비율을 그대로 옮긴다. 평행선은 한 직선(선분 AB)을 자른 비율을 다른 직선(x축)에도 똑같이 전달합니다. 따라서 P가 선분 AB를 m : n으로 나누면, 그림자 P′도 선분 A′B′를 똑같이 m : n으로 나눕니다. 즉 x좌표만 떼어 1단계 공식을 쓰면
x = (mx₂ + nx₁) / (m+n)
4단계 · y축에도 똑같이. y축으로 그림자를 떨어뜨려도 같은 논리가 성립하므로
y = (my₂ + ny₁) / (m+n)
두 결과를 묶으면 처음의 내분점 공식이 됩니다. 각 좌표를 독립적으로, 같은 비율로 내분한다는 것이 핵심입니다.
적용 예제 — 공식에 좌표 대입하기
예제 1. 두 점 A(5, 1), B(−1, 4)에 대해 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P의 좌표를 구하여라.
m : n = 2 : 1 이므로 m = 2, n = 1, m + n = 3.
- x좌표 = (2·(−1) + 1·5) / 3 = (−2 + 5) / 3 = 3/3 = 1
- y좌표 = (2·4 + 1·1) / 3 = (8 + 1) / 3 = 9/3 = 3
∴ P(1, 3)
예제 2. 두 점 A(−3, −2), B(7, 8)에 대해 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구하여라.
중점은 1 : 1 내분이므로 좌표를 더해 2로 나눈다.
- x좌표 = (−3 + 7) / 2 = 4/2 = 2
- y좌표 = (−2 + 8) / 2 = 6/2 = 3
∴ M(2, 3)
⚠ 자주 나오는 실수
① m과 n의 위치를 바꿔 쓴다. AB를 m : n으로 내분할 때 뒤쪽 점 B의 좌표(x₂)에 앞 비율 m, 앞쪽 점 A의 좌표(x₁)에 뒤 비율 n을 곱한다. → (mx₂ + nx₁)이지 (mx₁ + nx₂)가 아니다.
② 분모를 m+n이 아닌 다른 값으로 쓴다. 분모는 항상 두 비율의 합 m+n이다. (m−n, m×n 아님)
함께 보면 좋은 개념정리
- 수직선 위의 내분점 공식 — m:n 내분점 좌표 유도와 적용 (이 공식의 1차원 원형)
- 선분의 중점 공식 — 중점 좌표와 내분점 공식의 관계 (내분점의 특수 경우)
- 내분점·중점을 역으로 활용하기 — 미지수 포함 좌표에서 값 구하기
✏️ 이 개념, 직접 풀어볼까요?
공식을 외우는 것보다 손으로 좌표를 대입해 보는 게 가장 빠른 길입니다.