📌 핵심 — 중점은 1 : 1 내분점이다
좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 중점 M의 좌표는
M ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 )
이 식은 내분점 공식에서 m : n = 1 : 1을 대입한 특수한 경우입니다. 즉 중점은 따로 외울 공식이 아니라, 내분점 공식의 한 갈래입니다.
x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 각각 평균을 낸다고 기억하면 됩니다.
왜 중점이 1 : 1 내분점일까? — 내분점 공식에서 유도하기
1단계 — 내분점 공식에서 출발
점 P가 선분 AB를 m : n으로 내분할 때, P의 좌표는
P ( (m x₂ + n x₁)/(m+n) , (m y₂ + n y₁)/(m+n) )
2단계 — 중점은 AP : PB = 1 : 1
중점 M은 A에서 B까지의 한가운데이므로 AM : MB = 1 : 1입니다. 따라서 내분점 공식에 m = 1, n = 1을 대입하면 됩니다.
3단계 — 대입해서 정리
x좌표 : (1·x₂ + 1·x₁)/(1+1) = (x₁ + x₂)/2
y좌표 : (1·y₂ + 1·y₁)/(1+1) = (y₁ + y₂)/2
이렇게 내분점 공식 하나에서 중점 공식이 자연스럽게 나옵니다. 그래서 중점 공식과 내분점 공식은 별개가 아니라 같은 식입니다.
적용 예제
예제 1. 중점 좌표 직접 구하기
두 점 A(5, 1), B(−1, 4)에 대하여 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구하여라.
x좌표 : (5 + (−1))/2 = 4/2 = 2
y좌표 : (1 + 4)/2 = 5/2
∴ M ( 2 , 5/2 )
예제 2. 중점 = 1 : 1 내분점 확인하기
두 점 A(−3, −2), B(7, 8)에 대하여 중점 공식으로 구한 중점과, 1 : 1 내분점 공식으로 구한 점이 일치함을 확인하여라.
중점 공식 : ( (−3+7)/2 , (−2+8)/2 ) = ( 4/2 , 6/2 ) = ( 2 , 3 )
1 : 1 내분점 공식 : ( (1·7 + 1·(−3))/2 , (1·8 + 1·(−2))/2 ) = ( 4/2 , 6/2 ) = ( 2 , 3 )
∴ 두 방법 모두 ( 2 , 3 ) — 중점은 곧 1 : 1 내분점이다.
⚠ 자주 나오는 실수
- 분모에 2가 아닌 다른 수를 쓰는 경우 — 중점은 항상 두 좌표의 합을 2로 나눈다.
- x좌표와 y좌표를 섞어서 계산하는 경우 — x는 x끼리, y는 y끼리 따로 평균을 낸다.
- 음수 좌표의 부호 처리 실수 — (−3) + 7 = 4 처럼 부호를 그대로 더한다.