내분점·중점을 역으로 활용하기 — 미지수 포함 좌표에서 값 구하기

📌 핵심 — 내분점·중점 공식을 ‘거꾸로’ 쓰기

내분점·중점 공식은 보통 끝점(A, B) → 분점을 구할 때 씁니다. 하지만 시험에서는 반대로 분점(또는 중점)이 주어지고, 끝점 좌표 속에 미지수가 들어 있는 경우가 많습니다. 이때는 공식을 그대로 세운 뒤 방정식을 풀어 미지수를 찾습니다.

x좌표 조건과 y좌표 조건을 따로 세운다.
분점의 좌표가 (p, q)로 주어지면 → x식 1개, y식 1개를 만들어 연립한다.

역산의 원리 — 공식을 등식으로 보고 풀기

두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P의 좌표는

P = ( (m·x₂ + n·x₁) / (m+n) , (m·y₂ + n·y₁) / (m+n) )

이고, 중점 M의 좌표는

M = ( (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 )

1단계 · 무엇이 ‘미지수’인지 표시한다. 끝점 좌표에 든 문자(a, b 등)와, 마지막에 구하라는 값(α+β, AB² 등)을 구분합니다.

2단계 · 분점 좌표 = (주어진 값) 으로 등식을 세운다. 공식의 좌변(분점 좌표)과 우변(주어진 좌표)을 x끼리·y끼리 맞춰 두 방정식을 얻습니다.

3단계 · 연립해서 미지수를 구하고, 다시 대입한다. 미지수를 구해 끝점 좌표를 확정한 뒤, 문제가 요구하는 값(또 다른 내분점, 거리 등)을 계산합니다.

요령. 분모(m+n 또는 2)는 등식 양변에 곱해 먼저 없앤 뒤 정리하면 계산 실수가 줄어듭니다.

예제 1. 두 점 A(a, −1), B(−4, b)에 대하여 선분 AB를 2 : 5로 내분하는 점의 좌표가 (1, 1)일 때, 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 (α, β)에 대하여 α + β의 값을 구하여라.

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1단계 — 2:5 내분점 공식으로 등식 세우기. A(a, −1), B(−4, b)를 2:5로 내분한 점은

( (2·(−4) + 5·a) / 7 , (2·b + 5·(−1)) / 7 ) = (1, 1)

2단계 — x·y 조건 분리해서 풀기.

x조건: (−8 + 5a)/7 = 1 → −8 + 5a = 7 → 5a = 15 → a = 3

y조건: (2b − 5)/7 = 1 → 2b − 5 = 7 → 2b = 12 → b = 6

따라서 A(3, −1), B(−4, 6).

3단계 — 확정된 A, B로 2:1 내분점 구하기.

α = (2·(−4) + 1·3)/3 = (−8 + 3)/3 = −5/3

β = (2·6 + 1·(−1))/3 = (12 − 1)/3 = 11/3

∴ α + β = −5/3 + 11/3 = 6/3 = 2

예제 2. 두 점 A, B에 대하여 선분 AB의 중점이 (1, 2)이고, 선분 AB를 3 : 1로 내분하는 점이 (4, 3)일 때, AB²의 값을 구하여라.

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1단계 — A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)로 놓고 두 조건을 식으로.

중점 조건: (x₁+x₂)/2 = 1, (y₁+y₂)/2 = 2 → x₁+x₂ = 2, y₁+y₂ = 4

3:1 내분점 조건: (3x₂+x₁)/4 = 4, (3y₂+y₁)/4 = 3 → x₁+3x₂ = 16, y₁+3y₂ = 12

2단계 — 연립으로 끝점 좌표 역산.

x: (x₁+3x₂) − (x₁+x₂) = 16 − 2 → 2x₂ = 14 → x₂ = 7, x₁ = −5

y: (y₁+3y₂) − (y₁+y₂) = 12 − 4 → 2y₂ = 8 → y₂ = 4, y₁ = 0

따라서 A(−5, 0), B(7, 4).

3단계 — 거리 공식으로 AB² 계산.

AB² = (7 − (−5))² + (4 − 0)² = 12² + 4² = 144 + 16 = 160

⚠ 자주 나오는 실수

내분점 공식에서 m과 n의 자리 헷갈리기. ‘AB를 m:n 내분’이면 먼 쪽 끝점 B에 m을, 가까운 쪽 A에 n을 곱합니다(m·x₂ + n·x₁).
x조건만 풀고 끝내기. 미지수가 a, b 두 개면 x식·y식 두 개를 모두 세워야 합니다.
중점을 내분점 공식과 헷갈려 분모를 잘못 쓰기. 중점은 무조건 ÷2, 일반 m:n 내분점은 ÷(m+n)입니다.

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