📌 핵심 공식 — 수직선 위의 내분점
수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여, 선분 AB를 m:n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표는
P = (m x₂ + n x₁) / (m + n)
즉 AP : PB = m : n 일 때, 비율 m·n을 엇갈리게 곱해서 더하는 것이 핵심입니다. (먼 쪽 끝점 x₂에 m, 가까운 쪽 끝점 x₁에 n)
중점은 내분점의 특수한 경우 — m = n = 1 이면 M = (x₁ + x₂) / 2
왜 성립할까? — 비례식으로 유도하기
내분점의 정의 AP : PB = m : n 을 좌표로 옮겨 비례식을 풀면 공식이 그대로 나옵니다.
1단계 · 길이를 좌표로. x₁ < x₂ 이고 점 P(x)가 A와 B 사이에 있다고 하면
AP = x − x₁, PB = x₂ − x
2단계 · 비례식 세우기. AP : PB = m : n 이므로
(x − x₁) : (x₂ − x) = m : n
외항·내항의 곱이 같으므로
n(x − x₁) = m(x₂ − x)
3단계 · x에 대해 정리. 전개하여 x항을 한쪽으로 모으면
nx − nx₁ = mx₂ − mx ⟹ (m + n)x = mx₂ + nx₁
4단계 · 결론. 양변을 (m + n)으로 나누면
x = (mx₂ + nx₁) / (m + n) ∎
외운다기보다 구조를 본다. 분모는 비율의 합 (m + n), 분자는 각 비율을 마주 보는 끝점 좌표에 곱한 합. 이 “엇갈림”만 기억하면 좌표평면(2D)으로 확장돼도 x·y 각각에 똑같이 적용하면 됩니다.
적용 예제 — 공식에 수치 대입하기
예제 1. 두 점 A(−5), B(4)에 대하여 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 P의 좌표를 구하여라.
m = 2, n = 1, x₁ = −5, x₂ = 4 를 공식에 대입합니다.
P = (2·4 + 1·(−5)) / (2 + 1) = (8 − 5) / 3 = 3 / 3 = 1
따라서 점 P의 좌표는 1. (A에서 B 쪽으로 전체의 2/3 지점)
예제 2. 두 점 A(2), B(7)에 대하여 선분 AB를 3:2로 내분하는 점을 P, 2:3으로 내분하는 점을 Q라 할 때, 두 점 P, Q의 중점 M의 좌표를 구하여라.
각각 공식에 대입합니다.
P = (3·7 + 2·2) / 5 = (21 + 4) / 5 = 25 / 5 = 5
Q = (2·7 + 3·2) / 5 = (14 + 6) / 5 = 20 / 5 = 4
중점 공식(m = n = 1)으로
M = (P + Q) / 2 = (5 + 4) / 2 = 9/2
따라서 중점 M의 좌표는 9/2.
⚠ 자주 나오는 실수
- 비율 m을 가까운 끝점 x₁에 곱해 버리는 실수 — AP:PB = m:n 이면 m은 먼 쪽 x₂에 곱합니다. (mx₂ + nx₁)/(m+n).
- 내분점과 외분점 혼동 — 외분점은 분모가 (m − n), 한쪽 비율 부호가 반대입니다. ‘내분’이면 분모는 항상 두 비율의 합.
- 좌표가 음수일 때 부호 처리 누락 — x₁ = −5 라면 n·x₁ = 1·(−5) = −5 임을 빠뜨리지 않기.
✏️ 이 개념, 직접 풀어볼까요?
공식 대입 → 비율 처리 → 좌표 계산을 손에 익히는 연산연습 세트입니다.
내분점 공식 적용 — 좌표 계산 훈련 중점·내분점 복합 — 미지수 구하기 선분 길이 비 표현 — PQ 길이 계산