📌 핵심 — 평행사변형 법칙 (중선정리의 응용)
평행사변형 ABCD에서 두 대각선을 AC, BD라 하면 다음이 성립합니다.
AC² + BD² = 2(AB² + BC²)
즉 두 대각선의 제곱의 합은 이웃한 두 변의 제곱의 합의 2배와 같습니다.
※ 이 식은 평행사변형의 성질(대각선이 서로를 이등분) + 중선정리에서 곧바로 유도됩니다.
왜 성립할까? — 중선정리로 유도하기
출발점이 되는 두 사실을 먼저 정리합니다.
- 평행사변형의 성질: 두 대각선 AC, BD는 교점 O에서 서로를 이등분한다. → O는 AC의 중점이자 BD의 중점.
- 중선정리(파포스 정리): 삼각형에서 한 변의 중점으로 그은 중선 AM에 대해 AB² + AC² = 2(AM² + BM²).
1단계 — 삼각형 하나를 잡는다. 대각선 BD를 한 변으로 보는 삼각형 ABD를 생각합니다. O는 BD의 중점이므로 선분 AO는 삼각형 ABD의 중선입니다.
2단계 — 중선정리 적용. 삼각형 ABD에서 중선정리를 쓰면
3단계 — 대각선의 절반을 대입. O가 두 대각선의 중점이므로 AO = ½AC, BO = ½BD. 따라서 AO² = ¼AC², BO² = ¼BD².
4단계 — 평행사변형 법칙 완성. 양변에 2를 곱하고, 평행사변형의 대변이 같다는 성질 AD = BC를 적용하면
정리하면 한 변(대각선)을 모를 때, 나머지 변·대각선 값으로 즉시 구할 수 있는 강력한 공식이 됩니다.
적용 예제
예제 1. 공식에 바로 대입하기
평행사변형 ABCD에서 AB = 4, BC = 6, 대각선 BD = 8일 때, 대각선 AC의 길이를 구하시오.
평행사변형 법칙 AC² + BD² = 2(AB² + BC²)에 대입하면
AC² + 8² = 2(4² + 6²) = 2(16 + 36) = 104
AC² = 104 − 64 = 40 → AC = √40 = 2√10
예제 2. 좌표로 주어진 평행사변형 (유형07 · 0036 대표유형)
평행사변형 ABCD에서 B(1, 3), D(7, 11)이고 AB = 5, BC = 7일 때, 대각선 AC의 길이를 구하시오.
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B(1, 3), D(7, 11)이므로
BD = √{(7 − 1)² + (11 − 3)²} = √(36 + 64) = √100 = 10 → BD² = 100
② 평행사변형 법칙 대입.
AC² + BD² = 2(AB² + BC²)
AC² + 100 = 2(5² + 7²) = 2(25 + 49) = 148
③ AC 계산.
AC² = 148 − 100 = 48 → AC = √48 = 4√3
💡 포인트. 대각선 두 개 중 하나만 주어지고 두 변을 알면, 나머지 대각선은 평행사변형 법칙으로 한 번에 결정됩니다. 좌표가 주어진 대각선(여기선 BD)은 거리 공식으로, 모르는 대각선(AC)은 공식으로 구하는 흐름이 핵심입니다.
⚠ 자주 나오는 실수
- 우변의 계수 2를 빠뜨리는 경우 — AC² + BD² = 2(AB² + BC²)에서 2배를 잊지 않기.
- 대각선과 변을 혼동하는 경우 — BD는 대각선, AB·BC는 이웃한 두 변입니다.
- 대변이 같다는 성질(AB = CD, BC = AD)을 놓쳐, 공식에 엉뚱한 두 변을 넣는 경우.
- AC² 값(48 등)을 그대로 답으로 쓰는 경우 — 묻는 것이 길이이면 √를 씌워 AC = 4√3까지 정리해야 합니다.