📌 핵심 — 좌표 설정의 3원칙
도형의 성질을 좌표를 이용해 증명할 때는, 도형을 좌표평면 위에 가장 계산이 간단해지도록 놓는 것이 핵심입니다.
① 한 변을 x축 위에 놓는다 → y좌표가 0이 되어 식이 짧아진다.
② 한 꼭짓점(또는 중점)을 원점에 놓는다 → 좌표에 0이 많아진다.
③ 대칭성을 활용한다 → B(−a, 0), C(a, 0)처럼 좌우 대칭으로 두면 계산이 절반으로 줄어든다.
왜 좌표 설정이 증명을 간단하게 할까?
중선정리 AB² + AC² = 2(AM² + BM²) 를 좌표로 직접 증명하면서, 좌표 설정의 위력을 확인해 봅시다. (M은 변 BC의 중점)
1단계 — 변 BC를 x축 위에, 중점 M을 원점에 놓는다.
대칭으로 두면 변수가 줄어듭니다.
- M(0, 0)
- B(−a, 0), C(a, 0) → BC = 2a, M은 자동으로 중점
- A(b, c) → 나머지 한 꼭짓점
2단계 — 거리 공식으로 각 선분의 제곱을 계산한다.
- AB² = (b + a)² + c²
- AC² = (b − a)² + c²
- AM² = b² + c²
- BM² = a²
3단계 — 양변을 각각 정리하여 비교한다.
(좌변) AB² + AC² = (b + a)² + (b − a)² + 2c² = 2a² + 2b² + 2c²
(우변) 2(AM² + BM²) = 2(b² + c² + a²) = 2a² + 2b² + 2c²
∴ AB² + AC² = 2(AM² + BM²) — 중선정리 증명 완료 ✔
변을 축에 올려놓는 순간 √ 기호가 사라지고(거리² 형태), 대칭 배치로 미지수가 a·b·c 세 개로 줄어 누구나 손계산으로 증명할 수 있게 됩니다.
적용 예제 — 삼등분점으로 확장하기
문제. 삼각형 ABC에서 변 BC의 삼등분점을 차례로 M, N이라 할 때, 다음이 성립함을 좌표를 이용해 증명하여라.
AB² + AC² = AM² + AN² + 4MN²
① 좌표 설정 — BC를 x축에, BC의 중심을 원점에 놓고 대칭으로 둡니다.
- B(−3a, 0), C(3a, 0) → 삼등분점 M(−a, 0), N(a, 0)
- A(b, c)
- MN = 2a → MN² = 4a²
② 각 항 계산
- AB² + AC² = (b + 3a)² + (b − 3a)² + 2c² = 2b² + 18a² + 2c²
- AM² + AN² = (b + a)² + (b − a)² + 2c² = 2b² + 2a² + 2c²
- 4MN² = 4 × 4a² = 16a²
③ 우변 정리
AM² + AN² + 4MN² = (2b² + 2a² + 2c²) + 16a² = 2b² + 18a² + 2c²
좌변 = 우변 = 2b² + 18a² + 2c² ∴ 등식이 성립한다 ✔
중점(2등분) 대신 삼등분점이라도, 대칭 좌표 설정이라는 같은 무기로 똑같이 증명됩니다.
⚠ 자주 나오는 실수
• 좌표를 아무 데나 잡으면 미지수가 늘어 계산이 폭발합니다. 반드시 한 변을 x축, 한 점을 원점에 두세요.
• 대칭으로 둘 때 BC = 2a임을 잊고 BM을 a가 아닌 2a로 쓰는 실수에 주의하세요. “설정한 좌표가 조건(중점·삼등분)을 만족하는가”를 항상 확인합니다.
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✏️ 이 개념, 직접 풀어볼까요?
좌표 설정과 중선정리 계산을 반복 훈련하며 손에 익혀 보세요.
중선정리 수치 대입 훈련 → 좌표 설정·거리 계산 훈련 → 무게중심 2:1 비율 훈련 →