📌 핵심 공식 — 중선정리(파포스 정리)
삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M이라 하면(선분 AM이 중선), 다음이 항상 성립한다.
AB² + AC² = 2(AM² + BM²)
※ M이 BC의 중점이므로 BM = CM = ½ BC. 두 변의 제곱의 합을 중선과 중선이 나눈 변의 절반으로 바꿔주는 공식이다.
왜 성립할까? — 좌표를 이용한 유도
중선정리는 변 BC를 x축에, 중점 M을 원점에 놓으면 가장 깔끔하게 증명됩니다. (좌표 설정 요령은 아래 ‘관련 개념정리’의 변을 축으로 설정하는 좌표 설정법 참고)
1단계 · 좌표 설정. 중점 M을 원점에 두고 BC를 x축 위에 놓는다. BM = CM = a 라 하면
M(0, 0), B(−a, 0), C(a, 0), A(b, c)
2단계 · 좌변 계산. 두 점 사이의 거리 공식으로 AB², AC²을 구한다.
AB² = (b + a)² + c², AC² = (b − a)² + c²
두 식을 더하면 −2ab와 +2ab가 상쇄되어
AB² + AC² = 2b² + 2a² + 2c² = 2(a² + b² + c²)
3단계 · 우변 계산. AM²과 BM²을 구한다.
AM² = b² + c² (A에서 원점 M까지), BM² = a²
2(AM² + BM²) = 2(b² + c² + a²) = 2(a² + b² + c²)
4단계 · 결론. 2단계의 좌변과 3단계의 우변이 같으므로
AB² + AC² = 2(AM² + BM²) ∎
적용 예제 — 공식에 수치 대입하기
예제 1. 삼각형 ABC에서 AB = 6, BC = 10, CA = 10일 때, 중선 AM의 길이를 구하여라. (M은 BC의 중점)
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중선정리에 대입하면
AB² + AC² = 2(AM² + BM²)
6² + 10² = 2(AM² + 5²)
36 + 100 = 2(AM² + 25)
136 = 2AM² + 50 ⟹ 2AM² = 86 ⟹ AM² = 43
따라서 AM = √43
예제 2. 삼각형 ABC에서 AB = 8, AC = 6이고 중선 AM = 5일 때, 변 BC의 길이를 구하여라.
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AB² + AC² = 2(AM² + BM²)
8² + 6² = 2(5² + x²)
64 + 36 = 2(25 + x²)
100 = 50 + 2x² ⟹ 2x² = 50 ⟹ x² = 25 ⟹ x = 5
따라서 BC = 2x = 10
⚠ 자주 나오는 실수
- 우변의 BM은 BC가 아니라 BC의 절반이다. BM = ½ BC 임을 빠뜨리고 BC를 그대로 넣지 않기.
- 공식이 AB² + AC²(중선을 사이에 둔 두 변)임을 확인할 것 — 중선 AM은 변 BC에 대응하는 중선이다.
- 좌변 우변 모두 제곱(²)으로 묶인 식이다. 길이를 구할 때 마지막에 √를 씌우는 것을 잊지 않기.
이 개념, 직접 풀어볼까요?
아래 연산연습으로 중선정리 계산을 손에 익혀 보세요.
P-중선01 · 공식에 수치 대입해 중선 길이 구하기 P-중선02 · 좌표 설정 후 두 점 거리 계산 P-중선03 · 무게중심 2:1 비율로 선분 길이 구하기