📌 핵심 — AP²+BP²이 최소가 되는 점은 ‘A·B의 중점’
두 점 A, B가 고정되어 있을 때, 점 P가 평면 전체에서 자유롭게 움직이면 다음이 성립합니다.
AP² + BP² 은 P가 선분 AB의 중점 M일 때 최소
그리고 그 사이를 이어 주는 항등식은
AP² + BP² = 2·MP² + ½·AB² (M은 AB의 중점)
→ AB는 고정이므로 MP가 작아질수록 값이 작아지고, P=M(즉 MP=0)일 때 최솟값 ½AB².
왜 중점에서 최소일까? — 중선정리로 보는 항등식
이 성질의 핵심은 중선정리(파포스 정리)입니다. 선분 AB의 중점을 M이라 하고, 삼각형 ABP에서 PM을 중선으로 보면
AP² + BP² = 2(PM² + AM²)
1단계 — AM을 AB로 바꾸기.
M은 AB의 중점이므로 AM = ½AB, 따라서 AM² = ¼AB². 이를 대입하면
AP² + BP² = 2PM² + 2·(¼AB²) = 2PM² + ½AB²
2단계 — 무엇이 변수이고 무엇이 상수인가.
A, B가 고정이면 AB는 상수입니다. 즉 ½AB²는 더 줄일 수 없는 ‘바닥값’이고, 식에서 움직이는 부분은 오직 2PM²뿐입니다.
3단계 — PM을 최소로.
PM² ≥ 0 이고, 등호는 P가 M과 일치할 때 성립합니다. 따라서 P가 평면 어디든 움직일 수 있다면 P = M일 때 최소이고, 이때 최솟값은 ½AB²입니다.
⚑ P가 직선 위로만 제한되면?
PM=0이 불가능할 수 있습니다. 이때는 PM이 최소가 되는 점, 즉 중점 M에서 그 직선에 내린 수선의 발에서 최소가 됩니다. (좌표로 풀 때는 이 점의 자유 좌표가 곧 M의 해당 좌표와 같아집니다.)
적용 예제
예제 1. P가 평면 전체에서 움직일 때 (→ 중점)
두 점 A(1, 2), B(5, 4)에 대하여 AP²+BP²이 최소가 되는 점 P의 좌표와, 그때 점 P와 원점 사이의 거리를 구하시오.
P는 AB의 중점 M이므로
M = ( (1+5)/2 , (2+4)/2 ) = (3, 3)
따라서 P(3, 3), 원점과의 거리는 OP = √(3² + 3²) = √18 = 3√2.
(참고: 이때 최솟값 ½AB² = ½·{(5−1)²+(4−2)²} = ½·20 = 10)
예제 2. P가 x축 위로 제한될 때 (→ 수선의 발)
두 점 A(1, 2), B(5, 4)와 x축 위의 점 P에 대하여 AP²+BP²의 최솟값을 구하시오.
AB의 중점 M(3, 3)에서 x축에 내린 수선의 발은 (3, 0). 즉 P(3, 0)일 때 MP가 최소(=3)입니다.
최솟값 = 2·MP² + ½AB² = 2·3² + 10 = 18 + 10 = 28
검산: P(3,0)에서 AP²=(3−1)²+(0−2)²=8, BP²=(3−5)²+(0−4)²=20, 합 28 ✓ — 직접 P(x,0) 대입해 2(x−3)²+28로 정리해도 x=3(=M의 x좌표)에서 최소임이 확인됩니다.
⚠ 자주 나오는 실수
- “P가 직선 위로 제한”되어 있는데도 무조건 P=중점이라고 단정하는 경우 — 이때는 중점에서 내린 수선의 발이 답입니다.
- AP²+BP²(거리의 제곱의 합)과 AP+BP(거리의 합)를 혼동하는 경우 — 후자의 최소는 중점이 아니라 삼각부등식·대칭이동으로 다룹니다.
- 최솟값 ½AB²을 구할 때 AB(길이)와 AB²(제곱)을 섞어 쓰는 경우 — 공식은 제곱 기준입니다.
✏️ 이 개념, 직접 풀어볼까요?
중점·항등식·수선의 발 — 직접 계산하며 손에 익혀 보세요.