📌 핵심 — AP²+BP²의 최솟값은 ‘이차함수 최솟값’ 문제
두 점 A, B는 고정이고 점 P가 직선(또는 x축·y축) 위를 움직일 때, P의 좌표를 한 문자 x로 놓으면
AP² + BP² = (양수)·x² + ··· 꼴의 x에 대한 이차식
이 됩니다. x² 계수가 양수이므로 완전제곱식으로 변환하면 최솟값을 바로 읽을 수 있습니다.
f(x) = a(x − p)² + q (a>0) → x = p 일 때 최솟값 q
왜 이차함수의 최솟값 문제가 될까?
x축 위를 움직이는 점 P(x, 0)의 경우로 따라가 봅니다. (y축·일반 직선이면 그 직선의 식으로 좌표를 한 문자로 놓는 점만 다릅니다.)
1단계 — P의 좌표를 한 문자로
x축 위의 점이므로 P(x, 0). 미지수가 x 하나로 줄어듭니다.
2단계 — 거리의 제곱을 전개
A(a₁, b₁), B(a₂, b₂) 라 하면
AP² + BP² = (x − a₁)² + b₁² + (x − a₂)² + b₂²
AP² + BP² = (x − a₁)² + b₁² + (x − a₂)² + b₂²
3단계 — x에 대한 이차식으로 정리
= 2x² − 2(a₁ + a₂)x + (a₁² + a₂² + b₁² + b₂²)
→ x² 계수가 2 (양수) 이므로 아래로 볼록한 이차함수
→ x² 계수가 2 (양수) 이므로 아래로 볼록한 이차함수
4단계 — 완전제곱식으로 변환 → 최솟값 읽기
2[x − (a₁+a₂)/2]² + (상수) 꼴로 바꾸면, x = (a₁ + a₂)/2 즉 A·B의 중점의 x좌표에서 최솟값을 가집니다.
💡 더 깊이 — 왜 ‘중점’인가 선분 AB의 중점을 M이라 하면 중선정리로
AP² + BP² = 2·PM² + ½·AB²
가 항상 성립합니다. AB는 고정이므로 PM²이 가장 작아질 때 전체가 최소 → 즉 P가 중점 M에 가장 가까워질 때입니다. x축·직선 위라면 M에서 그 직선에 내린 수선의 발이 답이 됩니다.
적용 예제 — x축 위의 점에서 최솟값
예제. 두 점 A(1, 2), B(5, 4)와 x축 위의 점 P에 대하여 AP² + BP²의 최솟값을 구하여라.
풀이
① x축 위의 점이므로 P(x, 0)으로 놓는다.② AP² = (x − 1)² + (0 − 2)² = (x − 1)² + 4
BP² = (x − 5)² + (0 − 4)² = (x − 5)² + 16
③ AP² + BP² = (x² − 2x + 1 + 4) + (x² − 10x + 25 + 16)
= 2x² − 12x + 46
④ 완전제곱식 변환: = 2(x² − 6x) + 46 = 2(x − 3)² − 18 + 46 = 2(x − 3)² + 28
⑤ 따라서 x = 3 (= A·B 중점의 x좌표 (1+5)/2 = 3) 일 때 최솟값 28.
※ 검산(중선정리): M(3, 3), AB² = 4² + 2² = 20 → 2·PM² + ½AB² = 2·(0² + 3²) + 10 = 28. 일치.
⚠ 자주 나오는 실수
- AP + BP(거리의 합)와 AP² + BP²(제곱의 합)를 혼동하기 — 합의 최솟값은 ‘대칭점·삼각부등식’, 제곱의 합은 ‘이차함수 최솟값’으로 푼다.
- 완전제곱식으로 묶을 때 상수항 처리를 빠뜨려 최솟값을 틀리게 읽는 경우.
- 최솟값을 묻는데 최솟값이 되는 x값(꼭짓점의 x좌표)을 답으로 쓰는 경우 — 묻는 게 ‘값 q’인지 ‘좌표 p’인지 확인.
이 개념, 직접 풀어볼까요?
완전제곱식 변환과 최솟값 계산을 반복 훈련으로 손에 익혀 보세요.
▶ AP²+BP² 이차식 변환 훈련 ▶ 완전제곱식 최솟값 훈련 ▶ 직선 위 점 좌표 설정 훈련