직선 위의 점 좌표 설정법 — x축·y축·y=mx+n 위의 점

📌 핵심 — 직선 위의 점은 ‘미지수 1개’로 놓는다

한 점은 원래 x, y 두 개의 좌표를 갖지만, 그 점이 어떤 직선 위에 있다는 조건이 붙으면 두 좌표 사이에 관계식이 생겨 미지수를 하나로 줄일 수 있습니다.

→ 결국 구해야 할 미지수가 하나뿐이므로, 거리·내분점 조건을 식 하나로 정리해 풀 수 있습니다.

왜 미지수가 하나로 줄어들까?

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 모르는 값은 x, y 두 개입니다. 그런데 “P가 어떤 직선 위에 있다”는 것은 그 점의 x좌표와 y좌표가 직선의 방정식을 만족한다는 뜻입니다.

1단계 — 직선의 식이 곧 ‘좌표 사이의 관계식’.

예를 들어 직선 y = 2x + 1 위의 점이라면, 그 점의 y좌표는 항상 (x좌표의 2배)+1 입니다. 즉 y는 x에 완전히 종속됩니다.

2단계 — 자유로운 값은 x 하나뿐.

그래서 x좌표만 t로 정하면 y좌표는 자동으로 결정됩니다. 직선 위의 점은 P(t, 2t + 1) 꼴로 단 하나의 문자 t만 남습니다.

3단계 — x축·y축은 특수한 경우.

x축은 직선 y = 0이므로 점은 P(a, 0), y축은 직선 x = 0이므로 점은 P(0, b). 모두 “직선 위의 점은 미지수 1개”라는 같은 원리의 특수한 형태입니다.

한 줄 요약 직선 위의 점 → 미지수 1개로 설정 → 주어진 조건(거리·내분점·등거리 등)을 t에 대한 식 하나로 만들어 푼다.

예제. 두 점 A(1, 0), B(3, 4)로부터 같은 거리에 있는 직선 y = 2x + 1 위의 점 P의 좌표를 구하시오.

① 점 P를 미지수 1개로 설정

P가 직선 y = 2x + 1 위에 있으므로 P(t, 2t + 1) 로 놓는다.

② 등거리 조건 AP = BP → AP² = BP²

AP² = (t − 1)² + (2t + 1 − 0)² = (t − 1)² + (2t + 1)²

BP² = (t − 3)² + (2t + 1 − 4)² = (t − 3)² + (2t − 3)²

③ 전개하여 t에 대한 식으로 정리

AP² = (t² − 2t + 1) + (4t² + 4t + 1) = 5t² + 2t + 2

BP² = (t² − 6t + 9) + (4t² − 12t + 9) = 5t² − 18t + 18

AP² = BP² 에서 5t² + 2t + 2 = 5t² − 18t + 18 → 20t = 16 → t = 4/5

④ 좌표 복원

P(t, 2t + 1)에 t = 4/5를 대입하면 P(4/5, 13/5).

관찰 — x², t²항이 그대로 소거되어 1차식 한 개로 깔끔하게 풀린다. 직선 위의 점을 미지수 1개로 잡았기 때문에 가능한 일이다.

⚠ 자주 나오는 실수

직선 위의 점인데도 P(a, b)처럼 미지수를 2개로 놓아 식이 하나 부족해지는 경우. → 직선의 식으로 한 문자를 반드시 소거하세요.
y = mx + n 위의 점을 잡을 때 y좌표에 (mt + n) 대입을 빠뜨리는 실수. P(t, t)처럼 직선의 기울기·절편을 누락하지 않도록 주의.
x축(y = 0)과 y축(x = 0)을 서로 뒤바꿔 0의 자리를 잘못 넣는 경우.

이 개념, 직접 풀어볼까요?

직선 위의 점을 미지수 1개로 설정하는 연습을 아래 연산훈련으로 손에 익혀 보세요.