📌 핵심 — 조건이 붙은 점은 ‘미지수 1개’로 설정한다
점이 어떤 축이나 직선 위에 있으면, 그 점의 좌표는 한 개의 문자만으로 나타낼 수 있습니다.
- x축 위의 점 → P(a, 0) (y좌표 = 0)
- y축 위의 점 → P(0, b) (x좌표 = 0)
- 직선 y = mx + n 위의 점 → P(t, mt + n)
- 특히 y = x 위 → P(t, t), y = −x 위 → P(t, −t)
⚡ 등거리(AP = BP) 조건은 양변을 제곱해서 처리합니다.
AP = BP ⟹ AP² = BP² → 미지수 1개짜리 방정식으로 정리.
아래 문제로 점의 좌표 설정 → 거리² 식 세우기 → 방정식 풀기의 흐름을 손에 익혀 보세요. 미지수를 두 개 쓰지 않고 딱 하나로 줄이는 게 핵심입니다.
기본형 — 좌표 설정 & 단순 대입
기본 1. 다음 점을 한 개의 문자만 사용하여 좌표로 나타내어라.
(1) x축 위의 점 P (2) y축 위의 점 Q (3) 직선 y = 3x − 1 위의 점 R
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(1) x축 위 → y좌표가 0 → P(a, 0)
(2) y축 위 → x좌표가 0 → Q(0, b)
(3) 직선 위 → x좌표를 t로 두면 y좌표는 3t − 1 → R(t, 3t − 1)
(2) y축 위 → x좌표가 0 → Q(0, b)
(3) 직선 위 → x좌표를 t로 두면 y좌표는 3t − 1 → R(t, 3t − 1)
기본 2. x축 위의 점 P가 두 점 A(1, 2), B(3, 4)로부터 같은 거리에 있을 때, 점 P의 좌표를 구하여라.
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x축 위의 점이므로 P(a, 0)로 설정.
AP² = (a − 1)² + (0 − 2)² = (a − 1)² + 4
BP² = (a − 3)² + (0 − 4)² = (a − 3)² + 16
AP = BP ⟹ AP² = BP² 이므로
(a − 1)² + 4 = (a − 3)² + 16
a² − 2a + 1 + 4 = a² − 6a + 9 + 16
−2a + 5 = −6a + 25 ⟹ 4a = 20 ⟹ a = 5
따라서 P(5, 0)
AP² = (a − 1)² + (0 − 2)² = (a − 1)² + 4
BP² = (a − 3)² + (0 − 4)² = (a − 3)² + 16
AP = BP ⟹ AP² = BP² 이므로
(a − 1)² + 4 = (a − 3)² + 16
a² − 2a + 1 + 4 = a² − 6a + 9 + 16
−2a + 5 = −6a + 25 ⟹ 4a = 20 ⟹ a = 5
따라서 P(5, 0)
기본 3. y축 위의 점 P가 두 점 A(−3, 2), B(1, 6)으로부터 같은 거리에 있을 때, 점 P의 좌표를 구하여라.
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y축 위의 점이므로 P(0, b)로 설정.
AP² = (0 + 3)² + (b − 2)² = 9 + (b − 2)²
BP² = (0 − 1)² + (b − 6)² = 1 + (b − 6)²
9 + b² − 4b + 4 = 1 + b² − 12b + 36
−4b + 13 = −12b + 37 ⟹ 8b = 24 ⟹ b = 3
따라서 P(0, 3)
AP² = (0 + 3)² + (b − 2)² = 9 + (b − 2)²
BP² = (0 − 1)² + (b − 6)² = 1 + (b − 6)²
9 + b² − 4b + 4 = 1 + b² − 12b + 36
−4b + 13 = −12b + 37 ⟹ 8b = 24 ⟹ b = 3
따라서 P(0, 3)
응용형 — 직선 위의 점 & 조건 결합
응용 1. 직선 y = 2x + 1 위의 점 P가 두 점 A(−2, 4), B(4, 2)로부터 같은 거리에 있다. 점 P의 좌표를 구하고, P의 x좌표와 y좌표의 합을 구하여라.
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직선 위의 점이므로 x좌표를 t로 두면 P(t, 2t + 1).
AP² = (t + 2)² + (2t + 1 − 4)² = (t + 2)² + (2t − 3)²
= t² + 4t + 4 + 4t² − 12t + 9 = 5t² − 8t + 13
BP² = (t − 4)² + (2t + 1 − 2)² = (t − 4)² + (2t − 1)²
= t² − 8t + 16 + 4t² − 4t + 1 = 5t² − 12t + 17
AP² = BP² 이므로 5t² − 8t + 13 = 5t² − 12t + 17
−8t + 13 = −12t + 17 ⟹ 4t = 4 ⟹ t = 1
따라서 P(1, 3), x좌표 + y좌표 = 1 + 3 = 4
AP² = (t + 2)² + (2t + 1 − 4)² = (t + 2)² + (2t − 3)²
= t² + 4t + 4 + 4t² − 12t + 9 = 5t² − 8t + 13
BP² = (t − 4)² + (2t + 1 − 2)² = (t − 4)² + (2t − 1)²
= t² − 8t + 16 + 4t² − 4t + 1 = 5t² − 12t + 17
AP² = BP² 이므로 5t² − 8t + 13 = 5t² − 12t + 17
−8t + 13 = −12t + 17 ⟹ 4t = 4 ⟹ t = 1
따라서 P(1, 3), x좌표 + y좌표 = 1 + 3 = 4
응용 2. 직선 y = −x 위의 점 P가 두 점 A(1, 1), B(−1, 3)으로부터 같은 거리에 있다. 원점 O와 점 P 사이의 거리 OP를 구하여라.
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직선 y = −x 위의 점이므로 P(t, −t).
AP² = (t − 1)² + (−t − 1)² = (t − 1)² + (t + 1)² = 2t² + 2
BP² = (t + 1)² + (−t − 3)² = (t + 1)² + (t + 3)²
= t² + 2t + 1 + t² + 6t + 9 = 2t² + 8t + 10
AP² = BP² 이므로 2t² + 2 = 2t² + 8t + 10
2 = 8t + 10 ⟹ 8t = −8 ⟹ t = −1
따라서 P(−1, 1), OP = √{(−1)² + 1²} = √2
AP² = (t − 1)² + (−t − 1)² = (t − 1)² + (t + 1)² = 2t² + 2
BP² = (t + 1)² + (−t − 3)² = (t + 1)² + (t + 3)²
= t² + 2t + 1 + t² + 6t + 9 = 2t² + 8t + 10
AP² = BP² 이므로 2t² + 2 = 2t² + 8t + 10
2 = 8t + 10 ⟹ 8t = −8 ⟹ t = −1
따라서 P(−1, 1), OP = √{(−1)² + 1²} = √2
⚠ 자주 나오는 실수
- 점을 P(a, b)처럼 미지수 2개로 두는 경우 — 축·직선 조건이 있으면 반드시 1개로 줄이세요. (그래야 AP=BP 한 식으로 풀린다)
- 직선 y = mx + n 위의 점을 P(t, n) 또는 P(t, mt)처럼 식을 빠뜨려 적는 경우 — y좌표는 mt + n 전체.
- 거리 조건을 제곱하지 않고 근호 상태로 계산하려다 실수하는 경우 — AP = BP는 곧바로 AP² = BP²로.
- (−t − 1)² 같은 식에서 부호를 놓치는 경우 — (−t − 1)² = (t + 1)² 임을 활용하면 계산이 깔끔합니다.