[연산연습] 세 변의 길이 비교로 삼각형 모양 판별 반복 훈련 | 공통수학2 1단원

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📌 핵심 — 세 변의 길이(제곱)로 모양을 판별한다

삼각형 ABC의 세 변의 길이를 a = BC, b = CA, c = AB 라 하면, 두 단계로 모양이 정해집니다.

① 같은 변이 있는가? (정삼각형·이등변 판별)

  • 세 변이 모두 같다 → 정삼각형
  • 두 변이 같다 → 이등변삼각형

② 가장 긴 변의 제곱 vs 나머지 두 변의 제곱의 합 (각의 종류 판별)

가장 긴 변의 길이를 c라 할 때(c ≥ a, c ≥ b),

  • c² = a² + b² → 직각삼각형 (직각은 c와 마주 보는 꼭짓점)
  • c² > a² + b² → 둔각삼각형
  • c² < a² + b² → 예각삼각형

아래 문제로 세 변의 길이의 제곱 구하기 → 같은 변 확인 → 가장 긴 변으로 각 판별의 흐름을 반복해 익혀 보세요. 길이를 비교할 때는 √를 풀지 말고 제곱 상태로 비교하는 것이 빠르고 정확합니다.

기본형 — 세 꼭짓점 좌표로 모양 판별하기

[기본 1] 세 점 A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 모양을 판별하시오.

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세 변의 길이의 제곱을 구합니다.
AB² = (4 − 0)² + (0 − 0)² = 16
BC² = (0 − 4)² + (3 − 0)² = 16 + 9 = 25
CA² = (0 − 0)² + (0 − 3)² = 9

같은 변이 없으므로(부등변) ①은 해당 없음.
가장 긴 변은 BC(BC² = 25)이고, 나머지 두 변의 제곱의 합은 16 + 9 = 25.
BC² = AB² + CA² 이므로 ∠A = 90°인 직각삼각형입니다.
▸ 답: 직각삼각형 (직각은 빗변 BC와 마주 보는 꼭짓점 A)

[기본 2] 세 점 A(0, 0), B(4, 0), C(2, 4)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 모양을 판별하시오.

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AB² = (4 − 0)² + (0 − 0)² = 16
BC² = (2 − 4)² + (4 − 0)² = 4 + 16 = 20
CA² = (2 − 0)² + (4 − 0)² = 4 + 16 = 20

① BC² = CA² 이므로 BC = CA → 두 변의 길이가 같습니다.
② 가장 긴 변(20)에 대해 20 < 20 + 16 이므로 직각·둔각은 아님.
▸ 답: 이등변삼각형

[기본 3] 세 점 A(0, 0), B(4, 0), C(1, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 모양을 판별하시오.

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AB² = (4 − 0)² + (0 − 0)² = 16
BC² = (1 − 4)² + (1 − 0)² = 9 + 1 = 10
CA² = (1 − 0)² + (1 − 0)² = 1 + 1 = 2

같은 변이 없으므로(부등변) ①은 해당 없음.
가장 긴 변은 AB(AB² = 16), 나머지 두 변의 제곱의 합은 10 + 2 = 12.
16 > 12 이므로 AB² > BC² + CA² → 둔각삼각형(둔각은 AB와 마주 보는 꼭짓점 C).
▸ 답: 둔각삼각형

응용형 — 미지수·조건이 주어진 모양 판별

[응용 1] 세 점 A(1, 1), B(3, 2), C(a, 5)에 대하여 삼각형 ABC가 ∠A = 90°인 직각삼각형일 때, 상수 a의 값을 구하시오.

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∠A = 90°이면 A와 마주 보는 변 BC가 빗변이므로 BC² = AB² + AC² 가 성립합니다.

AB² = (3 − 1)² + (2 − 1)² = 4 + 1 = 5
AC² = (a − 1)² + (5 − 1)² = (a − 1)² + 16
BC² = (a − 3)² + (5 − 2)² = (a − 3)² + 9

BC² = AB² + AC² 에 대입:
(a − 3)² + 9 = 5 + (a − 1)² + 16
(a² − 6a + 9) + 9 = (a² − 2a + 1) + 21
a² − 6a + 18 = a² − 2a + 22
−6a + 18 = −2a + 22 → −4a = 4 → a = −1
▸ 답: a = −1

[응용 2] 세 점 A(0, 1), B(1, 4), C(a, 2)에 대하여 삼각형 ABC가 이등변삼각형이 되도록 하는 모든 실수 a의 값의 곱을 구하시오.

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세 변의 길이의 제곱을 a로 나타냅니다.
AB² = (1 − 0)² + (4 − 1)² = 1 + 9 = 10
AC² = (a − 0)² + (2 − 1)² = a² + 1
BC² = (a − 1)² + (2 − 4)² = a² − 2a + 1 + 4 = a² − 2a + 5

이등변삼각형이 되려면 세 변 중 두 변의 길이가 같아야 하므로 세 경우로 나눕니다.

경우 ⅰ) AB = AC : 10 = a² + 1 → a² = 9 → a = 3 또는 a = −3
경우 ⅱ) AB = BC : 10 = a² − 2a + 5 → a² − 2a − 5 = 0 → a = 1 ± √6
경우 ⅲ) AC = BC : a² + 1 = a² − 2a + 5 → 2a = 4 → a = 2

(세 점이 한 직선 위에 놓이는 a = 1/3은 삼각형이 되지 않으나, 위 값들은 모두 이에 해당하지 않으므로 모두 유효합니다.)

따라서 모든 실수 a의 값은 3, −3, 1 + √6, 1 − √6, 2 이고, 그 곱은
3 × (−3) × (1 + √6)(1 − √6) × 2 = (−9) × (1 − 6) × 2 = (−9) × (−5) × 2 = 90
▸ 답: 90

⚠ 자주 나오는 실수

  • 직각 판별을 가장 긴 변이 아닌 다른 변으로 따지는 경우 — c² = a² + b²의 c는 반드시 가장 긴 변이어야 합니다.
  • 이등변삼각형 조건을 한 경우만 확인하고 끝내는 경우 — AB=AC, AB=BC, AC=BC 세 경우를 모두 따져야 합니다.
  • ‘이등변삼각형’과 ‘직각삼각형’이 동시에 성립할 수 있음(직각이등변삼각형)을 놓치는 경우.
  • 이등변 조건을 만족해도 세 점이 한 직선 위에 있으면 삼각형이 아니므로 제외해야 하는 경우.

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