핵심 정리 — 직각삼각형 판별과 직각의 위치
삼각형 ABC의 세 변의 길이를 각각
a = BC, b = CA, c = AB
라 할 때, 가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.
- a² = b² + c² ⟹ ∠A = 90°
- b² = c² + a² ⟹ ∠B = 90°
- c² = a² + b² ⟹ ∠C = 90°
⚑ 직각은 항상 가장 긴 변(빗변)과 마주 보는 꼭짓점에 생긴다.
왜 성립할까? — 피타고라스 정리의 역
1단계. 피타고라스 정리는 “직각삼각형 ⟹ (빗변)² = (다른 두 변)²의 합”을 말합니다. 직각삼각형 판별에서 쓰는 것은 이 명제의 역(逆)입니다.
2단계. 세 변이 c² = a² + b² 를 만족하면, 길이 c인 변을 빗변으로 하는 직각삼각형이 됩니다. 즉 변끼리의 길이가 이 관계를 만족하기만 하면 그 삼각형은 직각삼각형임이 보장됩니다.
3단계. 가장 긴 변이 빗변이고, 직각은 빗변과 마주 보는 꼭짓점에 있습니다. 그래서 “직각의 위치”를 묻는 문제는 곧 가장 긴 변이 무엇인지를 찾는 문제입니다.
4단계. 좌표평면에서는 두 점 사이의 거리 공식으로 각 변의 길이의 제곱을 구합니다. 어차피 제곱끼리 비교하므로 √(루트)를 씌웠다 다시 제곱할 필요가 없어, 거리의 제곱 상태로 곧장 비교하는 것이 가장 빠릅니다.
적용 예제
예제 1 — 삼각형의 모양 판단하기
세 점 A(0, 0), B(1, 4), C(5, 3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 모양을 판단하여라.
각 변의 길이의 제곱을 구하면
AB² = (1−0)² + (4−0)² = 1 + 16 = 17
BC² = (5−1)² + (3−4)² = 16 + 1 = 17
CA² = (0−5)² + (0−3)² = 25 + 9 = 34
가장 긴 변은 CA이고, AB² + BC² = 17 + 17 = 34 = CA² 가 성립합니다. 따라서 CA를 빗변으로 하는 직각삼각형이며, 직각은 빗변 CA와 마주 보는 꼭짓점 B에 있으므로 ∠B = 90°입니다. 또한 AB² = BC² 이므로 AB = BC, 즉 두 변의 길이가 같습니다.
∴ ∠B = 90°인 직각이등변삼각형
예제 2 — 직각이 되도록 미지수 정하기
세 점 A(1, 1), B(3, 2), C(a, 5)에 대하여 ∠A = 90°가 되도록 하는 상수 a의 값을 구하여라.
∠A = 90°라는 것은 A가 직각의 꼭짓점, 즉 변 BC가 빗변이라는 뜻입니다. 따라서 AB² + AC² = BC² 가 성립해야 합니다.
AB² = (3−1)² + (2−1)² = 4 + 1 = 5
AC² = (a−1)² + (5−1)² = (a−1)² + 16
BC² = (a−3)² + (5−2)² = (a−3)² + 9
AB² + AC² = BC² 에 대입하면
5 + (a−1)² + 16 = (a−3)² + 9
a² − 2a + 22 = a² − 6a + 18
4a = −4 ⟹ a = −1
검산: C(−1, 5)일 때 AB² = 5, AC² = 20, BC² = 25 이고 5 + 20 = 25 이므로 ∠A = 90°가 성립합니다.
∴ a = −1
⚠ 자주 나오는 실수
- 가장 긴 변(빗변)을 찾지 않고 아무 두 변의 제곱의 합과 나머지를 비교 → 직각의 위치가 틀어집니다. 반드시 가장 큰 제곱값이 빗변(직각의 대변)임을 먼저 확정하세요.
- 거리 공식에서 √를 씌워 변의 길이를 구한 뒤 다시 제곱하다 계산 실수 → 처음부터 거리의 제곱으로 비교하면 √가 필요 없습니다.