삼각형 세 변의 길이로 모양 결정하기 — 정삼각형·이등변·직각·둔각 판별

📌 핵심 — 세 변의 길이만 알면 삼각형 모양이 정해진다

삼각형 ABC의 세 변의 길이를 a = BC, b = CA, c = AB 라 하면, 다음 두 가지를 차례로 따져 모양을 결정합니다.

① 변의 길이가 같은가? → 정삼각형·이등변삼각형 판별

② 가장 긴 변의 제곱 vs 나머지 두 변의 제곱의 합 → 각의 종류 판별

가장 긴 변의 길이를 c라 할 때(c ≥ a, c ≥ b),

왜 세 변의 길이만으로 모양을 알 수 있을까?

삼각형은 세 변의 길이가 정해지면 모양과 크기가 하나로 결정됩니다(SSS 합동). 그래서 변의 길이만 알면 ‘어떤 변이 같은지(①)’와 ‘각이 직각인지·둔각인지(②)’를 모두 판단할 수 있습니다.

1단계 — 변끼리 비교는 ‘제곱’으로 한다.

좌표평면에서 변의 길이는 두 점 사이의 거리 공식으로 구하는데, 근호(√)가 그대로 남아 비교가 번거롭습니다. 그래서 길이 대신 길이의 제곱을 구해 비교합니다. 길이는 모두 0 이상이므로 제곱끼리 같으면 길이도 같고, 제곱이 크면 길이도 큽니다.

2단계 — 각의 종류는 피타고라스 정리의 ‘역’으로 판별한다.

가장 긴 변 c와 마주 보는 각을 C라 하면, 코사인법칙에서 c² = a² + b² − 2ab·cos C 이므로

· c² = a² + b² ⟹ cos C = 0 ⟹ ∠C = 90° (직각)

· c² > a² + b² ⟹ cos C < 0 ⟹ ∠C는 둔각

· c² < a² + b² ⟹ cos C > 0 ⟹ ∠C는 예각

가장 긴 변과 마주 보는 각이 그 삼각형에서 가장 큰 각이므로, 이 각만 따져 보면 삼각형 전체의 각 종류가 결정됩니다. (코사인법칙을 배우지 않았더라도 ‘가장 긴 변의 제곱’과 ‘나머지 두 변의 제곱의 합’의 대소 비교라는 결론만 기억하면 됩니다.)

예제 1. 세 점 A(0, 0), B(1, 4), C(5, 3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 모양을 판별하여라.

풀이. 세 변의 길이의 제곱을 거리 공식으로 구합니다.

AB² = (1 − 0)² + (4 − 0)² = 1 + 16 = 17

BC² = (5 − 1)² + (3 − 4)² = 16 + 1 = 17

CA² = (0 − 5)² + (0 − 3)² = 25 + 9 = 34

① 변 비교: AB² = BC² = 17 이므로 AB = BC → 이등변삼각형.

② 각 판별: 가장 긴 변은 CA(제곱이 34). AB² + BC² = 17 + 17 = 34 = CA² 이므로 직각삼각형이고, 직각은 CA와 마주 보는 꼭짓점 B에 있습니다.

결론: 삼각형 ABC는 ∠B = 90°인 직각이등변삼각형이다.

예제 2. 세 점 A(0, 0), B(4, 0), C(1, 2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 모양을 판별하여라.

풀이. 마찬가지로 세 변의 제곱을 구합니다.

AB² = (4 − 0)² + (0 − 0)² = 16

BC² = (1 − 4)² + (2 − 0)² = 9 + 4 = 13

CA² = (0 − 1)² + (0 − 2)² = 1 + 4 = 5

① 변 비교: 16, 13, 5가 모두 다르므로 같은 변이 없음 → 이등변·정삼각형 아님.

② 각 판별: 가장 긴 변은 AB(제곱 16). BC² + CA² = 13 + 5 = 18 > 16 = AB² 이므로 c² < a² + b² 꼴 → 예각삼각형.

결론: 삼각형 ABC는 세 각이 모두 예각인 예각삼각형이다.

⚠ 자주 나오는 실수

각 판별(②)은 반드시 가장 긴 변을 c로 놓고 비교해야 합니다. 짧은 변을 기준으로 c² = a² + b²을 따지면 직각 판별이 틀립니다.
‘이등변삼각형’과 ‘직각삼각형’은 동시에 성립할 수 있습니다(예제 1처럼 직각이등변삼각형). 하나를 찾았다고 다른 조건을 확인하지 않고 끝내지 마세요.
길이를 비교할 때 √를 일일이 풀지 말고 제곱 상태로 비교하는 것이 빠르고 정확합니다.