삼각형의 넓이 공식 — 직각삼각형과 일반삼각형 | 공통수학2 1단원

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📌 핵심 공식 — 삼각형의 넓이

① 직각삼각형 — 직각을 낀 두 변이 그대로 밑변과 높이가 된다.

넓이 = ½ × (직각변 1) × (직각변 2)

② 일반삼각형 (좌표평면) — 한 꼭짓점이 원점 O인 삼각형 OAB에서 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)일 때

넓이 = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|

※ 세 꼭짓점이 모두 원점이 아니면, 한 꼭짓점이 원점에 오도록 평행이동한 뒤 위 공식을 쓴다. (절댓값 안의 부호는 점의 위치에 따라 달라지므로 반드시 | |로 처리)

왜 ½|x₁y₂ − x₂y₁| 일까? — 좌표 넓이 공식 유도

1단계 · 한 꼭짓점을 원점으로. 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나를 원점 O(0, 0)에 두면, 나머지 두 점은 O에서 뻗어나가는 두 변 OA, OB의 끝점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)가 됩니다.

2단계 · 직사각형에서 깎아내기. 두 점 A, B를 둘러싸는 직사각형을 만들고, 삼각형 OAB를 뺀 나머지 직각삼각형들의 넓이를 빼면, 좌표를 곱한 항 x₁y₂ 와 x₂y₁ 만 남습니다. 정리하면

△OAB = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|

3단계 · 원점이 아닐 때. 세 꼭짓점이 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 일반적인 위치라면, 평행이동은 넓이를 바꾸지 않으므로 A를 원점으로 옮기는 셈 치고 두 벡터 (x₂−x₁, y₂−y₁), (x₃−x₁, y₃−y₁)에 ② 공식을 적용합니다.

△ABC = ½ |(x₂−x₁)(y₃−y₁) − (x₃−x₁)(y₂−y₁)|

💡 더 빠른 길. 세 변의 길이를 구해 본 결과 한 각이 직각이면(C-모양02 참고), 굳이 좌표 공식을 쓰지 말고 직각을 낀 두 변으로 ① 공식을 쓰는 편이 훨씬 간단합니다.

적용 예제 — 한 문제, 두 가지 풀이

예제. 세 점 A(−1, 1), B(1, 3), C(5, −1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 넓이를 구하여라.

풀이 ① — 직각삼각형임을 발견해서 ½×밑변×높이

먼저 세 변의 길이의 제곱을 구합니다. (두 점 사이의 거리 공식)

  • AB² = (1−(−1))² + (3−1)² = 4 + 4 = 8
  • BC² = (5−1)² + (−1−3)² = 16 + 16 = 32
  • CA² = (−1−5)² + (1−(−1))² = 36 + 4 = 40

가장 긴 변은 CA이고, AB² + BC² = 8 + 32 = 40 = CA² 이므로 ∠B = 90°인 직각삼각형입니다. 직각을 낀 두 변이 AB, BC이므로

넓이 = ½ × AB × BC = ½ × √8 × √32 = ½ × √256 = ½ × 16 = 8

풀이 ② — 좌표 넓이 공식 (직각 여부를 몰라도 OK)

3단계 공식에 A(−1, 1)을 기준점으로 대입합니다.

넓이 = ½ |(x₂−x₁)(y₃−y₁) − (x₃−x₁)(y₂−y₁)|

= ½ |(1−(−1))(−1−1) − (5−(−1))(3−1)|

= ½ |(2)(−2) − (6)(2)| = ½ |−4 − 12| = ½ × 16 = 8

두 방법 모두 넓이는 8. 직각이 보이면 ①이 빠르고, 보이지 않거나 미지수가 섞여 있으면 ②가 안전합니다.

⚠ 자주 나오는 실수

  • ½ 빠뜨리기. |x₁y₂ − x₂y₁|는 평행사변형 넓이라서, 삼각형은 반드시 그 절반(½)이다.
  • 절댓값 생략. 점의 배치에 따라 괄호 안이 음수가 나올 수 있다. 넓이는 음수가 될 수 없으므로 | |는 필수.
  • 거리(길이) 그대로 곱하기. ① 직각삼각형 공식은 “직각을 낀 두 변”일 때만 성립한다. 직각이 아닌데 아무 두 변을 곱하면 안 된다.

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세 변의 길이 계산부터 넓이 공식 대입까지, 손에 익을 때까지 반복 훈련해 보세요.

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