📌 핵심 — 이등변삼각형 조건 세우기
세 꼭짓점 A, B, C로 만든 삼각형이 이등변삼각형이 되려면, 세 변 중 어느 두 변의 길이가 같다는 조건을 세우면 된다. 경우는 항상 다음 셋이다.
AB = BC 또는 AB = CA 또는 BC = CA
계산할 때는 근호를 그대로 두지 말고 양변을 제곱해 AB² = BC² 꼴로 푼다.
※ 직각이등변삼각형이면 두 변이 같다(등변) + 그 사이 각이 90°(BA·BC=0) 두 조건을 함께 쓴다. 세 점이 한 직선 위에 있으면 삼각형이 아니므로 제외한다.
세 변의 길이(또는 제곱) 계산 → 같아질 수 있는 경우 분류 → 방정식 풀기의 흐름을 손에 익혀 보세요. 각 문제의 풀이 펼쳐보기를 누르면 단계별 계산을 확인할 수 있습니다.
🔹 기본형 — 세 변 비교로 이등변 확인
[기본 1] 세 점 A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4)를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 이등변삼각형임을 확인하고, 길이가 같은 두 변을 구하시오.
풀이 펼쳐보기
BC = √{(3 − 6)² + (4 − 0)²} = √(9 + 16) = √25 = 5
CA = √{(0 − 3)² + (0 − 4)²} = √(9 + 16) = √25 = 5
BC = CA = 5 이므로 BC와 CA가 같은 이등변삼각형이다.
[기본 2] 세 점 A(−2, 0), B(2, 0), C(0, 5)를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 이등변삼각형임을 확인하고, 길이가 같은 두 변을 구하시오.
풀이 펼쳐보기
BC = √{(0 − 2)² + (5 − 0)²} = √(4 + 25) = √29
CA = √{(−2 − 0)² + (0 − 5)²} = √(4 + 25) = √29
BC = CA = √29 이므로 BC와 CA가 같은 이등변삼각형이다.
[기본 3] 세 점 A(1, 2), B(4, 5), C(7, 2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 이등변삼각형인지 세 변의 길이의 제곱을 비교하여 판별하시오.
풀이 펼쳐보기
BC² = (7 − 4)² + (2 − 5)² = 9 + 9 = 18
CA² = (7 − 1)² + (2 − 2)² = 36 + 0 = 36
AB² = BC² 이므로 AB = BC인 이등변삼각형이다. (근호를 풀지 않고 제곱 상태로 비교하면 계산이 빠르다.)
🔸 응용형 — 미지수·경우 분류
[응용 1] 세 점 A(0, 1), B(1, 4), C(a, 2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 이등변삼각형이 되도록 하는 모든 실수 a의 값의 곱을 구하시오.
풀이 펼쳐보기
AB² = (1 − 0)² + (4 − 1)² = 1 + 9 = 10
BC² = (a − 1)² + (2 − 4)² = (a − 1)² + 4
CA² = (a − 0)² + (2 − 1)² = a² + 1
경우 1) AB = BC : 10 = (a − 1)² + 4 → (a − 1)² = 6 → a = 1 ± √6
경우 2) AB = CA : 10 = a² + 1 → a² = 9 → a = ±3
경우 3) BC = CA : (a − 1)² + 4 = a² + 1 → −2a + 5 = 1 → a = 2
세 점이 한 직선 위에 놓이는 a는 없으므로 다섯 값 모두 삼각형을 이룬다.
모든 a의 곱 = (1 + √6)(1 − √6) × 3 × (−3) × 2 = (1 − 6) × (−9) × 2 = (−5) × (−9) × 2 = 90
[응용 2] 세 점 A(0, 2a), B(−a, 3), C(3, −3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 ∠B = 90°인 직각이등변삼각형이 되도록 하는 양수 a의 값을 구하시오.
풀이 펼쳐보기
BA = A − B = (0 − (−a), 2a − 3) = (a, 2a − 3)
BC = C − B = (3 − (−a), −3 − 3) = (a + 3, −6)
① 직각 조건 (BA · BC = 0)
a(a + 3) + (2a − 3)(−6) = 0 → a² + 3a − 12a + 18 = 0 → a² − 9a + 18 = 0
(a − 3)(a − 6) = 0 → a = 3 또는 a = 6
② 등변 조건 (BA² = BC²)로 걸러내기
・a = 3 : BA² = 3² + 3² = 18, BC² = 6² + 6² = 72 → 다르므로 제외
・a = 6 : BA² = 6² + 9² = 117, BC² = 9² + 6² = 117 → 같으므로 성립
따라서 ∠B = 90°이면서 BA = BC인 직각이등변삼각형이 되는 양수는 a = 6
⚠ 자주 나오는 실수
- 경우를 빠뜨리는 실수 — 이등변은 AB=BC, AB=CA, BC=CA 세 경우를 모두 따져야 한다. 한두 경우만 풀고 답을 적으면 a값이 누락된다.
- 삼각형이 안 되는 값을 못 거르는 실수 — 구한 값이 세 점을 한 직선 위에 놓아 삼각형을 못 만들면 그 값은 제외해야 한다.
- 근호 그대로 비교하다 생기는 실수 — AB = BC 대신 AB² = BC²로 제곱해서 풀어야 계산이 깔끔하다.
- 직각이등변에서 조건 하나만 쓰는 실수 — 직각 조건(BA·BC=0)만 풀면 답이 둘 나오기도 한다. 반드시 등변 조건으로 한 번 더 걸러야 한다.