이등거리 조건 AP=BP — 양변 제곱으로 좌표 구하기

📌 핵심 개념 — 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점

두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점을 P라 하면

AP = BP

거리는 항상 0 이상이므로, 양변을 제곱해도 식이 그대로 성립합니다.

AP = BP ⟺ AP² = BP²

→ 제곱하면 근호(√)가 사라지고, x²·y² 항이 소거되어 일차식(직선)이 남는 것이 이 유형의 핵심입니다.

왜 ‘양변 제곱’이 핵심일까? — 유도 과정

세 점을 A(a₁, b₁), B(a₂, b₂), P(x, y)라 하면, 두 점 사이의 거리 공식에 의해

AP = √{(x − a₁)² + (y − b₁)²} , BP = √{(x − a₂)² + (y − b₂)²}

1단계. AP = BP의 양변이 모두 0 이상 → 양변을 제곱

(x − a₁)² + (y − b₁)² = (x − a₂)² + (y − b₂)²

2단계. 좌변·우변을 전개

x² − 2a₁x + a₁² + y² − 2b₁y + b₁² = x² − 2a₂x + a₂² + y² − 2b₂y + b₂²

3단계. 양변의 x², y² 항이 소거 → 일차식만 남음

−2a₁x − 2b₁y + (a₁² + b₁²) = −2a₂x − 2b₂y + (a₂² + b₂²)

이렇게 정리된 x, y에 대한 일차식이 곧 점 P가 그리는 직선(= 선분 AB의 수직이등분선)입니다. P에 추가 조건(축 위·직선 위 등)이 붙으면 미지수 하나로 줄어들어 좌표가 결정됩니다.

예제 1. x축 위의 등거리 점 찾기

두 점 A(1, 2), B(3, 4)로부터 같은 거리에 있는 x축 위의 점 P의 좌표를 구하시오.

풀이 펼쳐보기

P는 x축 위의 점이므로 P(x, 0)으로 놓는다.

AP² = (x − 1)² + (0 − 2)² = (x − 1)² + 4

BP² = (x − 3)² + (0 − 4)² = (x − 3)² + 16

AP = BP, 즉 AP² = BP² 이므로

(x − 1)² + 4 = (x − 3)² + 16

x² − 2x + 1 + 4 = x² − 6x + 9 + 16

−2x + 5 = −6x + 25 → 4x = 20 → x = 5

∴ P(5, 0) (검산: AP² = 16 + 4 = 20, BP² = 4 + 16 = 20 ✓)

예제 2. 원점에서의 등거리 조건 — 미지수 구하기 (2022년 09월 고1 학력평가 변형)

원점 O와 두 점 A(5, −5), B(1, a)에 대하여 OA = OB일 때, 양수 a의 값을 구하시오.

풀이 펼쳐보기

OA² = 5² + (−5)² = 25 + 25 = 50

OB² = 1² + a² = 1 + a²

OA = OB, 즉 OA² = OB² 이므로

50 = 1 + a² → a² = 49 → a = ±7

a는 양수이므로 ∴ a = 7

⚠ 자주 나오는 실수

이 개념, 직접 풀어볼까요?

AP = BP 조건을 손에 익히는 연산 훈련으로 바로 이어집니다.