📌 핵심 공식 — 원점까지의 거리 OP
원점 O(0, 0)에서 점 P(a, b)까지의 거리는 두 점 사이의 거리 공식에서 한 점이 원점인 특수한 경우입니다.
OP = √(a² + b²)
즉 점 P의 x좌표·y좌표를 두 직각변으로 하는 직각삼각형에서, OP는 빗변의 길이입니다. (피타고라스 정리)
왜 OP = √(a²+b²)일까? — 피타고라스로 유도
1단계 — 좌표축에 수선을 내린다. 점 P(a, b)에서 x축에 내린 수선의 발을 H(a, 0)라 하면, 직각삼각형 OHP가 만들어집니다.
2단계 — 두 직각변의 길이.
밑변 OH = |a| , 높이 HP = |b|
3단계 — 피타고라스 정리 적용. 빗변이 OP이므로
OP² = OH² + HP² = |a|² + |b|² = a² + b²
4단계 — 양변에 √. 거리는 0 이상이므로
OP = √(a² + b²)
한 줄 정리. 두 점 사이의 거리 공식 √{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²} 에서 한 점을 원점 (0, 0)으로 두면 좌표 차가 그대로 a, b가 되어 OP = √(a²+b²)로 간단해집니다. |a|², |b|²은 부호와 상관없이 a², b²과 같으므로 절댓값은 따로 쓰지 않아도 됩니다.
적용 예제 — OP 직접 계산해 보기
예제 1. 점 P(−2, 3)에 대하여 원점 O까지의 거리 OP를 구하시오.
예제 2. 직선 y = −x 위의 점 P가 P(t, −t)로 주어질 때, 원점 O까지의 거리 OP를 t로 나타내시오. (단, t는 실수)
⚠ 자주 나오는 실수
- 제곱을 빼먹고 더하기 — OP = a + b 가 아니라 OP = √(a²+b²). 각 좌표를 제곱한 뒤 더하고 √를 씌워야 합니다.
- 부호 처리 혼동 — 음수 좌표도 제곱하면 양수입니다. (−2)² = 4. 좌표가 음수라고 거리가 음수가 되는 일은 없습니다.
- OP²과 OP 혼동 — 문제가 OP²을 물으면 √를 씌우지 말고 a²+b²에서 멈춰야 합니다.
관련 개념정리
- C-거리01 · 두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지
- C-등거리01 · 이등거리 조건 AP=BP — 양변 제곱으로 좌표 구하기
- C-등거리02 · 직선 위의 점 좌표 설정법 — x축·y축·y=mx+n 위의 점
이 개념, 직접 풀어볼까요?
등거리 조건으로 점 P를 찾고, 원점까지의 거리 OP까지 손으로 반복 훈련해 보세요.