📌 핵심 — 좌표로 주어진 도형은 ‘거리부터’ 구한다
정사각형·직각삼각형처럼 좌표가 주어진 도형 문제는, 먼저 두 점 사이의 거리(또는 거리의 제곱)를 구한 뒤 그 도형의 성질을 입히는 것이 기본 흐름입니다.
▷ 정사각형
- 한 변의 길이 a를 거리 공식으로 구하면 넓이 = a²
- 마주 보는 두 꼭짓점(대각선) 길이 d만 알아도 넓이 = ½ d²
▷ 직각삼각형
- 세 변의 제곱을 거리 공식으로 구해 (가장 긴 변)² = (나머지 두 변)²의 합 ⟹ 직각
- 직각을 낀 두 변이 밑변·높이이므로 넓이 = ½ × (직각변) × (직각변)
왜 이렇게 풀까? — 거리 공식과 도형 성질의 결합
1단계 — 모든 길이는 거리 공식에서 나온다. 좌표평면 위 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여
도형 문제에서는 근호를 씌우기 전의 AB² 상태가 더 유용할 때가 많습니다. 넓이·피타고라스 정리 모두 ‘제곱’을 다루기 때문입니다.
2단계 — 정사각형: 대각선만으로 넓이가 나오는 이유. 한 변의 길이를 a, 대각선의 길이를 d라 하면 대각선은 직각삼각형의 빗변이므로
정사각형의 넓이는 a²이므로 곧 ½ d²입니다. 즉 마주 보는 두 꼭짓점의 좌표만 알면, 한 변을 따로 구하지 않고도 넓이를 바로 얻을 수 있습니다.
3단계 — 직각삼각형: 직각의 ‘위치’를 거리로 판정한다. 세 변의 제곱을 모두 구한 뒤 가장 큰 값이 나머지 두 값의 합과 같으면 직각삼각형이고, 그 가장 긴 변(빗변)과 마주 보는 꼭짓점이 직각입니다. 직각을 낀 두 변을 밑변·높이로 쓰면 넓이는 ½×(두 직각변의 곱)으로 깔끔하게 정리됩니다.
적용 예제
예제 1. 정사각형의 넓이 (대각선 활용)
원점 O와 점 B(6, 2)가 정사각형 OABC에서 마주 보는 두 꼭짓점일 때, 정사각형 OABC의 넓이를 구하시오.
정사각형 OABC에서 O와 B는 서로 마주 보므로 선분 OB는 대각선입니다. 대각선의 길이의 제곱은
OB² = (6 − 0)² + (2 − 0)² = 36 + 4 = 40
따라서 넓이는
넓이 = ½ × OB² = ½ × 40 = 20
※ 한 변 a를 직접 구해도 됩니다. a² = ½d² = 20이므로 넓이 = a² = 20. (a = 2√5)
예제 2. 직각삼각형의 판정과 넓이
세 점 A(1, 1), B(5, 3), C(3, 7)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 모양을 판정하고, 그 넓이를 구하시오.
세 변의 제곱을 거리 공식으로 구하면
BC² = (3 − 5)² + (7 − 3)² = 4 + 16 = 20
CA² = (3 − 1)² + (7 − 1)² = 4 + 36 = 40
가장 긴 변 CA에 대해 AB² + BC² = 20 + 20 = 40 = CA²이므로 ∠B = 90°인 직각삼각형이고, 동시에 AB = BC이므로 직각이등변삼각형입니다.
직각을 낀 두 변 AB, BC가 밑변·높이이므로
넓이 = ½ × AB × BC = ½ × √20 × √20 = ½ × 20 = 10
⚠ 자주 나오는 실수
- 정사각형에서 주어진 두 점이 이웃한 꼭짓점(변)인지, 마주 보는 꼭짓점(대각선)인지를 확인하지 않고 공식을 쓰는 경우. 변이면 넓이 = a², 대각선이면 넓이 = ½d².
- 직각삼각형 넓이에서 빗변을 밑변으로 잡는 경우. 넓이는 반드시 직각을 낀 두 변을 곱해야 합니다.
- 판정할 때 길이(근호)끼리 비교하다 실수하는 경우 — 거리의 제곱끼리 비교하면 근호 없이 깔끔합니다.
이 개념, 직접 풀어볼까요?
거리 공식 대입부터 도형 넓이까지, 손에 익을 때까지 반복 훈련해 보세요.
▶ 두 점 사이의 거리 공식 반복 계산 훈련 ▶ 거리 조건으로 이차방정식 세우고 풀기 훈련