📌 핵심 — 거리의 합이 ‘네 개’면 두 쌍으로 묶어라
한 점 P에서 여러 점까지의 거리의 합을 최소화할 때는, 거리들을 두 쌍으로 묶어 각 쌍에 “AP + BP ≥ AB (등호는 P가 선분 AB 위)” 원리를 따로 적용한 뒤 두 결과를 더합니다(결합).
네 점 O, A, B, C까지의 거리의 합이면
PO + PA + PB + PC = (PO + PB) + (PA + PC) ≥ OB + AC
→ 두 선분 OB, AC가 대각선처럼 서로 교차할 때, 그 교점에서 두 등호가 동시에 성립하여 최솟값 OB + AC를 얻습니다.
왜 ‘분리 후 결합’이 통할까?
바탕이 되는 사실은 단 하나, 두 점 사이는 직선이 가장 가깝다는 것입니다. (자세한 한 쌍의 원리는 아래 ‘관련 개념정리’의 AP+BP 최솟값 원리 참고)
1단계 · 한 쌍씩 부등식을 세운다.
움직이는 점 P와 고정된 네 점 O, A, B, C에 대해, 두 쌍으로 나누어 각각 삼각부등식을 적용합니다.
PA + PC ≥ AC (등호: P가 선분 AC 위)
2단계 · 두 부등식을 변끼리 더한다(결합).
(PO + PB) + (PA + PC) ≥ OB + AC
왼쪽은 곧 PO + PA + PB + PC 이고, 오른쪽 OB + AC는 고정된 점들로만 정해지는 상수입니다. 즉 합의 ‘바닥값’이 OB + AC로 정해졌습니다.
3단계 · 등호가 동시에 성립하는 조건을 찾는다.
최솟값 OB + AC에 실제로 도달하려면 두 등호가 한꺼번에 성립해야 합니다. 그러려면 P가
- 선분 OB 위에 있고, 동시에
- 선분 AC 위에도 있어야 합니다.
두 조건을 모두 만족하는 점은 선분 OB와 선분 AC의 교점뿐입니다. 따라서 P가 이 교점일 때 최솟값 OB + AC가 됩니다.
4단계 · 묶는 방법이 핵심.
네 점을 사각형의 꼭짓점으로 볼 때, 마주 보는 두 대각선이 되도록 묶어야 두 선분이 교차합니다. 교차하지 않게 묶으면 두 등호를 동시에 만족시킬 수 없어 그 합은 최솟값이 되지 못합니다.
적용 예제 — 네 점까지의 거리 합 최솟값
예제. 네 점 O(0, 0), A(3, 4), B(6, −2), C(1, −2)이 있다. 점 P에 대하여 PO + PA + PB + PC 의 최솟값을 구하여라.
① 교차하도록 두 쌍으로 묶기. 네 점을 사각형으로 보면 대각선은 O−B 와 A−C. 이렇게 묶으면 두 선분이 서로 교차하므로 (PO + PB) + (PA + PC) 로 분리합니다.
② 각 쌍의 ‘바닥값’ = 두 선분의 길이.
OB = √{(6 − 0)² + (−2 − 0)²} = √(36 + 4) = √40 = 2√10
AC = √{(1 − 3)² + (−2 − 4)²} = √(4 + 36) = √40 = 2√10
③ 결합(더하기).
PO + PA + PB + PC ≥ OB + AC = 2√10 + 2√10 = 4√10
두 선분 OB, AC는 실제로 교차하고(교점 (3/2, −1/2)), 그 교점에 P가 놓일 때 두 등호가 동시에 성립합니다.
∴ 최솟값 = 4√10
⚠ 자주 나오는 실수
- 짝을 아무렇게나 묶는 것 — 두 선분이 교차(대각선)하도록 묶어야 두 등호가 동시에 성립합니다. (PO+PA)+(PB+PC)처럼 교차하지 않게 묶으면 그 합은 최소가 아닙니다.
- “AP + BP ≥ AB의 등호는 P가 선분 AB 위”인데, 직선 AB 전체로 착각하는 경우 — 선분 밖(연장선)에서는 등호가 성립하지 않습니다.
- 두 선분이 교차하지 않는데도 교점이 있다고 가정하는 경우 — 교차 여부를 반드시 확인해야 합니다.
- 거리 계산에서 좌표 뺄셈의 부호·제곱 실수 — (−2 − 4)² = (−6)² = 36 처럼 음수 제곱을 빠뜨리지 않기.