📌 핵심 원리 — 선분의 길이의 합의 최솟값
두 점 A, B와 또 다른 점 P에 대하여, 삼각부등식에 의해 항상 다음이 성립합니다.
AP + BP ≥ AB
등호는 점 P가 선분 AB 위에 있을 때 성립하며, 이때 AP + BP의 최솟값은 선분 AB의 길이입니다.
왜 P가 선분 AB 위일 때 최소일까?
1단계 — 삼각부등식. 세 점 A, P, B로 삼각형을 만들면, 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작거나 같습니다. 즉 AB ≤ AP + BP. 따라서 AP + BP는 항상 AB 이상입니다.
2단계 — 등호 조건. 세 점이 삼각형을 이루지 못하고 한 직선 위에 일렬로 놓일 때, 즉 P가 선분 AB 위에 있을 때 AP + BP = AB가 되어 최솟값을 가집니다.
3단계 — P가 직선(예: 축) 위로 제한된 경우의 대칭이동. 점 P가 어떤 직선 ℓ 위에서만 움직여야 한다면, A와 B의 위치에 따라 두 경우로 나뉩니다.
① A, B가 직선 ℓ의 서로 다른 쪽: 선분 AB가 직선 ℓ과 만나므로, 그 교점이 곧 P이고 최솟값은 그대로 AB입니다.
② A, B가 직선 ℓ의 같은 쪽: 한 점(예: A)을 직선 ℓ에 대해 대칭이동한 점 A′를 잡으면 AP = A′P이므로, AP + BP = A′P + BP ≥ A′B. 따라서 최솟값은 대칭점 A′와 B 사이의 거리입니다.
적용 예제
예제 1. 두 점이 직선의 서로 다른 쪽에 있는 경우
두 점 A(−1, 5), B(5, −3)과 x축 위의 점 P에 대하여 AP + BP의 최솟값을 구하시오.
A는 x축 위쪽(y > 0), B는 x축 아래쪽(y < 0)에 있어 서로 다른 쪽입니다. 따라서 선분 AB가 x축과 만나며, 그 교점이 P일 때 최소가 됩니다.
AP + BP의 최솟값 = AB = √{(5−(−1))² + (−3−5)²} = √(36 + 64) = √100 = 10
예제 2. 두 점이 직선의 같은 쪽에 있는 경우 (대칭이동)
두 점 A(1, 2), B(5, 4)와 x축 위의 점 P에 대하여 AP + BP의 최솟값을 구하시오.
A, B 모두 x축 위쪽(y > 0)에 있어 같은 쪽입니다. A를 x축에 대해 대칭이동한 점 A′(1, −2)를 잡으면 AP = A′P이므로,
AP + BP = A′P + BP ≥ A′B = √{(5−1)² + (4−(−2))²} = √(16 + 36) = √52 = 2√13
등호는 P가 선분 A′B 위에 있을 때, 즉 선분 A′B와 x축의 교점일 때 성립합니다.
⚠ 자주 나오는 실수
• A, B가 직선의 같은 쪽인지 다른 쪽인지 먼저 확인하지 않고 무조건 AB로 계산하는 실수. 같은 쪽이면 반드시 대칭이동을 해야 합니다.
• 대칭이동할 점의 좌표를 잘못 잡는 실수. x축 대칭은 y좌표 부호만, y축 대칭은 x좌표 부호만 바뀝니다. (A(1,2) → x축 대칭 A′(1,−2))