내분점을 이용한 선분 길이 비 계산

📌 핵심 — ‘내분 비’가 곧 ‘길이 비’

점 P가 선분 AB를 m : n으로 내분하면, 두 부분 길이의 비가 그대로 그 비가 됩니다.

AP : PB = m : n

따라서 전체 길이 AB에 대해 각 부분의 길이를 분수 꼴로 바로 쓸 수 있습니다.

AP = m/(m+n) · AB , PB = n/(m+n) · AB

길이를 직접 구하기 전에 비부터 분수로 옮겨 적는 것이 계산을 빠르고 정확하게 만드는 핵심입니다.

왜 내분 비가 길이 비가 될까? — 분수로 옮겨 적기

1단계 — 내분의 정의에서 출발

점 P가 선분 AB를 m : n으로 내분한다는 것은, P가 A와 B 사이에 있으면서 AP : PB = m : n이 되도록 놓인다는 뜻입니다. 즉 비 자체가 두 토막의 길이 비입니다.

2단계 — 전체를 (m+n)등분으로 보기

AP : PB = m : n 이면 선분 AB 전체는 (m + n)개의 같은 조각으로 나뉘고, 그중 A쪽 m조각이 AP, B쪽 n조각이 PB입니다.

AP = m / (m+n) · AB

PB = n / (m+n) · AB

3단계 — 수직선 좌표로 확인

A(a), B(b)일 때 내분점 P의 좌표는 P = (na + mb)/(m+n). A에서 P까지의 길이는

AP = |P − a| = | (na + mb)/(m+n) − a | = | m(b − a)/(m+n) | = m/(m+n) · |b − a| = m/(m+n) · AB

➡ 좌표로 계산해도 AP = m/(m+n)·AB가 그대로 나옵니다. 비를 분수로 옮기는 것이 정당함을 확인할 수 있습니다.

예제 1. 한 내분점의 두 토막 길이 구하기

수직선 위 두 점 A(1), B(11)에 대하여 선분 AB를 2 : 3으로 내분하는 점 P를 잡을 때, AP와 PB의 길이를 구해 봅시다.

전체 길이는 AB = |11 − 1| = 10. 비를 분수로 옮기면

AP = 2/(2+3) · 10 = 2/5 · 10 = 4

PB = 3/(2+3) · 10 = 3/5 · 10 = 6

(확인) P = (3·1 + 2·11)/5 = 25/5 = 5 이므로 AP = 5 − 1 = 4, PB = 11 − 5 = 6. 분수로 옮긴 값과 일치합니다.

예제 2. 두 내분점 사이의 거리 PQ를 AB로 나타내기

선분 AB를 각각 1 : 4로 내분하는 점 P, 7 : 3으로 내분하는 점 Q를 잡을 때, 선분 PQ의 길이를 AB로 나타내 봅시다. (유형08·0042형)

두 점을 A로부터의 거리(분수)로 적습니다.

AP = 1/(1+4) · AB = 1/5 · AB = 2/10 · AB

AQ = 7/(7+3) · AB = 7/10 · AB

PQ = AQ − AP = (7/10 − 2/10) · AB = 1/2 · AB

따라서 PQ = (1/2)·AB. 만약 이를 PQ = q/p · AB (기약분수) 꼴로 보면 q = 1, p = 2 이므로 p + q = 3입니다.

두 내분점의 위치를 모두 ‘A로부터의 분수 거리’로 통일해 적으면, 둘의 차로 PQ가 한 번에 정리됩니다.

⚠ 자주 나오는 실수

① 비 m : n을 분수로 옮길 때 분모를 m+n이 아니라 n으로 쓰는 실수. AP는 항상 m/(m+n)·AB입니다.

② 두 내분점 사이의 거리 PQ를 구할 때 비끼리 빼는 것(예: 7:3 − 1:4)은 의미가 없습니다. 반드시 각각을 A로부터의 분수 거리로 바꾼 뒤 차를 구해야 합니다.