🔑 핵심 정리 · 수직선 위 내분점과 중점
수직선 위 두 점 A(a), B(b)에 대하여
- 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점 P → P = (mb + na) / (m + n) (이때 AP:PB = m:n)
- 선분 AB의 중점 M → M = (a + b) / 2 (= 1:1 내분점)
등간격 판별의 핵심 한 줄 — 점들이 같은 간격이면 “칸 수의 비 = 내분비”, 그리고 양쪽 칸 수가 같은 점이 곧 중점이다.
왜 “칸 수의 비”가 곧 내분비일까
수직선 위에 점들이 일정한 간격 d로 놓여 있다고 하자. 이웃한 두 점 사이 거리는 모두 d로 같다.
1단계. 어떤 점 X가 선분 YZ 위에 있고, Y에서 X까지 p칸, X에서 Z까지 q칸 떨어져 있다면
YX = p·d, XZ = q·d
2단계. 내분비는 두 거리의 비이므로
YX : XZ = p·d : q·d = p : q (공통인 d가 약분된다)
3단계. 따라서 X는 선분 YZ를 p:q로 내분하는 점이고, 특히 p = q이면 X는 선분 YZ의 중점이다.
👉 즉 등간격 문제에서는 좌표를 일일이 계산하기 전에 먼저 칸 수부터 세면 비와 중점이 바로 보인다.
적용 예제
예제 1. 수직선 위에 일정한 간격으로 점 A, B, C, D, E, F가 왼쪽부터 차례로 놓여 있다.
다음을 판별하여라. (1) C는 선분 AE를 몇:몇으로 내분하는가 (2) B는 선분 AD를 몇:몇으로 내분하는가 (3) 선분 AE의 중점은 어느 점인가
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간격이 일정하므로 칸 수만 세면 된다.
(1) A→C 는 2칸, C→E 는 2칸 → AC:CE = 2:2 = 1:1 → C는 선분 AE를 1:1로 내분(= 중점).
(2) A→B 는 1칸, B→D 는 2칸 → AB:BD = 1:2.
(3) (1)에서 AC:CE = 1:1 이므로 선분 AE의 중점은 C.
예제 2. 수직선 위에 일정한 간격으로 점 A, B, C, D, E가 차례로 놓여 있고 A(2), E(14)이다.
(1) 점 B, C, D의 좌표를 구하여라. (2) C가 선분 AE의 중점임을, B가 선분 AD를 1:2로 내분하는 점임을 좌표로 확인하여라.
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(1) 간격 d 구하기. A에서 E까지 4칸이고 AE = 14 − 2 = 12 이므로 d = 12 ÷ 4 = 3.
따라서 B = 2 + 3 = 5, C = 2 + 6 = 8, D = 2 + 9 = 11.
(2-1) C가 AE의 중점인가?
중점 공식: (a + b)/2 = (2 + 14)/2 = 16/2 = 8 = C의 좌표 ✓
(2-2) B가 AD를 1:2로 내분하는가? (A(2), D(11), m:n = 1:2)
내분점 공식: (mb + na)/(m + n) = (1·11 + 2·2)/(1 + 2) = (11 + 4)/3 = 15/3 = 5 = B의 좌표 ✓
⚠ 자주 나오는 실수
- 비의 순서 ↔ 공식의 자리 헷갈림. AP:PB = m:n일 때, P = (mb + na)/(m+n) 으로 m에는 B의 좌표 b가, n에는 A의 좌표 a가 곱해진다. m:n과 a, b를 짝지을 때 자리를 뒤집지 말 것.
- “칸 수의 비”를 “좌표값의 비”로 착각. 내분비는 거리(칸 수)의 비이지 점에 대응하는 수의 비가 아니다. 좌표값으로 비를 만들면 틀린다.
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칸 수로 비 읽기 → 내분점·중점 공식 대입까지, 손으로 반복하면 시험장에서 멈추지 않습니다.