수직선 위의 중점 공식 — 내분점 공식의 특수 경우

📌 핵심 공식 — 수직선 위의 중점

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여, 선분 AB의 중점 M의 좌표는

M = (x₁ + x₂) / 2

※ 중점은 두 점을 1 : 1로 내분하는 점입니다. 즉 내분점 공식에서 비율 m : n = 1 : 1을 넣은 특수한 경우일 뿐, 따로 외울 공식이 아닙니다.

왜 (x₁ + x₂) / 2 일까? — 내분점 공식에서 끌어내기

중점 공식은 따로 외우지 말고, 내분점 공식에 1 : 1을 대입하면 저절로 나온다고 기억하는 편이 훨씬 안전합니다. (내분점 공식 자체의 유도는 아래 ‘관련 개념정리’의 수직선 위의 내분점 공식 참고)

1단계 · 내분점 공식에서 출발. 수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)를 m : n으로 내분하는 점 P의 좌표는

P = (m·x₂ + n·x₁) / (m + n)

2단계 · 중점은 1 : 1 내분점. 중점은 A에서도 B에서도 거리가 같은 점이므로, AB를 1 : 1로 내분합니다. 즉 m = n = 1을 대입합니다.

M = (1·x₂ + 1·x₁) / (1 + 1) = (x₁ + x₂) / 2

3단계 · 결론. 그래서 중점 공식은 두 좌표의 산술평균입니다.

M = (x₁ + x₂) / 2 ∎

한 줄 요약. 중점 = ‘1 : 1 내분점’ = ‘두 좌표의 평균’. 비율이 1 : 1이 아니면 그냥 내분점 공식을 쓰면 됩니다.

예제 1. 수직선 위의 두 점 A(−3), B(7)에 대하여 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구하여라.

두 좌표의 평균을 구하면 됩니다.

M = (−3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2

예제 2. 수직선 위의 두 점 B(1), D(5)에 대하여 선분 BD의 중점 C의 좌표를 구하여라.

중점은 양 끝점 좌표의 평균이므로

C = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3

→ 이렇게 ‘B(1), C(3), D(5)’처럼 같은 간격으로 점이 늘어서면, 가운데 점은 양옆 두 점의 중점이 됩니다. 등간격 배열에서 중점·내분점을 판별하는 문제의 출발점이 바로 이 평균 계산입니다.

⚠ 자주 나오는 실수

① ‘평균’ 대신 ‘차’를 쓰는 실수. 중점은 (x₁ + x₂)/2 이지 (x₂ − x₁)/2 가 아닙니다. 뒤 식은 두 점 사이 거리의 절반(반지름 같은 값)이니 헷갈리지 마세요.

② 중점인지 내분점인지 확인하지 않는 실수. 비율이 1 : 1일 때만 평균을 쓸 수 있습니다. 2 : 1, 3 : 2처럼 비율이 다르면 반드시 내분점 공식 (m·x₂ + n·x₁)/(m + n)으로 돌아가야 합니다.