📌 핵심 — 이등분선이 ‘중점’을 지나면 이등변삼각형
삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 대변 BC와 만나는 점을 D라 하면, 각의 이등분선의 성질에 의해
BD : DC = AB : AC
즉 D는 BC를 AB : AC 로 내분하는 점입니다. 그런데 D가 BC의 중점이라면 BD : DC = 1 : 1 이므로,
이등분선이 대변의 중점을 지난다 ⟺ AB = AC (이등변삼각형)
⚡ 풀이 흐름 — ① 이등분선·중점 조건을 두 변의 길이가 같다는 식으로 바꾼다 → ② 두 변의 길이를 거리 공식으로 표현한다 → ③ 양변을 제곱해 미지수를 구한다.
두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리: AB = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²}
아래 문제로 이등분선 조건 → (이등변삼각형) 판별 → 거리 공식으로 식 세우기 → 제곱하여 풀기의 흐름을 손에 익혀 보세요. 비를 거꾸로 쓰지 않도록 BD : DC = AB : AC 순서를 늘 먼저 적어두는 게 핵심입니다.
기본형 — 비율 적용 & 이등변 판별
기본 1. 삼각형 ABC에서 AB = 10, AC = 6, BC = 8 이고 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 할 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.
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BD + DC = BC = 8 이므로 D는 BC를 5 : 3 으로 내분하는 점.
BD = 8 × 5/(5+3) = 8 × 5/8 = 5 (이때 DC = 3).
기본 2. 삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 변 BC의 중점을 지난다. AB = 9 일 때, AC의 길이를 구하고 삼각형 ABC가 어떤 삼각형인지 답하시오.
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성질 BD : DC = AB : AC 에서 AB : AC = 1 : 1 → AB = AC.
따라서 AC = 9, 삼각형 ABC는 AB = AC 인 이등변삼각형.
기본 3. 세 점 A(0, 4), B(−3, 0), C(3, 0)에 대하여 세 변의 길이를 구하고, ∠A의 이등분선이 변 BC의 중점을 지나는지 판별하시오.
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AB = √{(−3−0)² + (0−4)²} = √(9+16) = 5
AC = √{(3−0)² + (0−4)²} = √(9+16) = 5
BC = √{(3−(−3))² + 0²} = √36 = 6
AB = AC = 5 이므로 삼각형 ABC는 이등변삼각형.
∠A의 이등분선은 BC를 AB : AC = 1 : 1 로 내분 → BC의 중점 (0, 0)을 지난다. → 지난다 (○)
응용형 — 미지수·조건이 포함된 경우
응용 1. 세 점 A(0, a), B(−3, 0), C(2, 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC에서 ∠ABC의 이등분선이 변 AC의 중점을 지난다. 양수 a의 값을 구하시오.
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이 이등분선이 AC의 중점을 지나므로 BA : BC = 1 : 1 → BA = BC.
거리 공식으로 두 변을 표현하면
BA = √{(0−(−3))² + (a−0)²} = √(9 + a²), BC = √{(2−(−3))² + 0²} = 5.
BA = BC 의 양변을 제곱: 9 + a² = 25 → a² = 16 → a = ±4.
a > 0 이므로 a = 4.
응용 2. 삼각형 ABC에서 AB = 8, AC = 4, BC = 9 이고 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 하자. BD = p, DC = q 라 할 때, p, q를 두 근으로 하는 이차방정식이 x² + mx + n = 0 일 때, m + n의 값을 구하시오.
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BD + DC = BC = 9 이므로 BD = 9 × 2/3 = 6, DC = 9 × 1/3 = 3. → p = 6, q = 3.
두 근이 6, 3인 이차방정식 x² + mx + n = 0 에서 근과 계수의 관계로
두 근의 합 6 + 3 = 9 = −m → m = −9, 두 근의 곱 6 × 3 = 18 = n → n = 18.
따라서 m + n = −9 + 18 = 9.
⚠️ 자주 나오는 실수
- 비를 거꾸로 쓰는 실수 — ∠A의 이등분선이면 BD : DC = AB : AC입니다. AC : AB 로 뒤집어 쓰면 BD, DC가 바뀝니다. (D는 BC 위, A에서 가까운 변 AB가 BD에 대응)
- ‘중점을 지난다’를 그냥 넘기는 실수 — 중점을 지난다 = 1 : 1 = 이등분선을 낀 두 변이 같다(이등변삼각형)는 강력한 조건입니다. 이걸 거리 식으로 바꾸는 게 출발점이에요.
- 제곱을 안 풀고 진행 — √를 단 채 두 식을 같다고 두면 계산이 꼬입니다. AB = AC 는 곧바로 AB² = AC²로 바꿔 √를 없애세요.
- 부호·조건 누락 — a² = 16 에서 a = ±4 처럼 두 값이 나오면, ‘양수’ 등 문제의 조건을 확인해 답을 하나로 골라야 합니다.
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