출제 의도 및 문제 요약
이 문제는 수능 및 모의고사에서 자주 출제되는 ‘조건이 주어진 수열의 추론’ 능력을 평가합니다. 특히 모든 항이 자연수라는 제한 조건을 이용하여, 경우의 수를 좁혀나가는 논리적 사고력이 핵심 출제 의도입니다.
문제의 핵심 조건은 다음과 같이 요약할 수 있습니다.
- 두 등차수열의 특정 항들이 서로 같습니다. (다섯 번째 항끼리 같고, 첫 번째 수열의 여섯 번째 항과 두 번째 수열의 일곱 번째 항이 같습니다.)
- 첫 번째 수열의 일곱 번째 항의 값이 구체적으로 주어졌습니다. (27)
- 두 번째 수열의 일곱 번째 항은 특정 값 이하라는 부등식 조건이 있습니다. (24 이하)
- 모든 항이 자연수라는 강력한 조건이 있습니다.
문제 풀이 핵심 맥락 (결정적 단서)
처음부터 끝까지 식만 나열하려고 하면 막히기 쉽습니다. 아래의 결정적 단서들을 하나씩 따라가며 스스로 다음 단계를 유추해 보세요.
- 단서 1: 미지수 설정의 기본기
두 수열의 첫째항과 공차를 각각 다르게 설정하는 것부터 시작하세요. (예: 첫째항 $a_1, b_1$, 공차 $d_1, d_2$) - 단서 2: 주어진 등식을 공차에 대한 관계로 해석하기
두 항의 차이를 이용하세요. 첫 번째 수열의 5항과 6항의 차이, 두 번째 수열의 5항과 7항의 차이를 이용하면 두 공차 사이의 관계식($d_1 = 2d_2$)을 얻어낼 수 있습니다. - 단서 3: ‘모든 항이 자연수’ 조건의 진가 발휘
일곱 번째 항이 27이라는 것은 $a_1 + 6d_1 = 27$을 의미합니다. 자연수 조건에 의해 $a_1$과 $d_1$ 역시 자연수여야 하며, $d_1 = 2d_2$ 관계에 의해 $d_1$은 짝수가 되어야 합니다. - 단서 4: 케이스 분류와 부등식 검증
$d_1$이 될 수 있는 짝수 후보들(2, 4 등)을 직접 대입해 보고, 문제 마지막에 주어진 부등식 조건($b_7 \le 24$)을 만족하는 단 하나의 케이스를 찾아내세요.
풀이에 필요한 관련 개념
이 문제를 완벽하게 이해하기 위해 꼭 짚고 넘어가야 할 핵심 개념들입니다. 개념이 헷갈린다면 아래 링크를 클릭해 복습해 보세요.
유튜브 풀이 영상
글로만 이해하기 어려운 부분은 아래의 상세한 영상 해설을 통해 확인하세요. 선생님의 사고 과정을 그대로 따라가며 학습하는 것이 중요합니다.
출판사 제공 해설
스스로 문제를 풀어본 후, 아래의 공식 해설지와 자신의 풀이 과정을 비교해 보세요. 어느 단계에서 막혔는지 확인하는 것이 실력 향상의 지름길입니다.
이 문제에서 자주 하는 실수 패턴
선생님이 현장에서 지도해 보면, 많은 학생들이 다음과 같은 부분에서 실수를 하거나 시간을 허비합니다. 꼭 주의하세요!
- 자연수 조건을 무시하고 연립방정식만 풀려는 실수: 미지수는 많은데 식이 부족하다고 당황하는 패턴입니다. ‘자연수’라는 말 자체가 범위를 엄청나게 줄여주는 힌트(부정방정식)임을 잊지 마세요.
- 공차($d_1$)가 홀수일 수도 있다고 착각하는 실수: $d_1 = 2d_2$라는 식을 도출해놓고도, $d_1$이 2의 배수, 즉 짝수라는 사실을 눈치채지 못해 계산을 복잡하게 만드는 경우가 많습니다.
- 마지막 부등식 검증 누락: $d_1$ 후보를 찾은 후 첫 번째 케이스만 대충 확인하고 답을 적어버리면 오답 함정에 빠집니다. 반드시 도출된 결과가 $b_7 \le 24$를 만족시키는지 끝까지 검증하는 습관을 들이세요.
💡 수학포스트 실전 노하우: 시험지에 ‘자연수’나 ‘정수’라는 단어가 보이면, 조건에 형광펜이나 동그라미를 크게 쳐두세요. 풀이가 막힐 때 그 동그라미가 여러분을 구해줄 것입니다!