“
부정(~p)이 다른 조건의 필요조건이 될 때의 미지수 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~p는 q이기 위한 필요조건이다’는 것은, 명제 **q → ~p가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 q의 진리집합 Q가 ~p의 진리집합 Pᶜ에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Q ⊂ Pᶜ**).
3. p의 진리집합 P의 범위를 먼저 구하고, 그것의 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
4. Q와 Pᶜ의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 Pᶜ에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 k의 범위를 찾고, 정수 k의 개수를 셉니다.
주의할 점:
부정(~)과 조건(필요/충분)이 결합되었을 때, 이를 진리집합의 포함 관계(Pᶜ, Q, ⊂)로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다.
”
부정 명제가 필요조건이 될 때의 범위 찾기 (Q⊂Pᶜ)
“
부정(~p)이 다른 조건의 충분조건이 될 때의 미지수 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~p는 q이기 위한 충분조건이다’는 것은, 명제 **~p → q가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 ~p의 진리집합 Pᶜ이 q의 진리집합 Q에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Pᶜ ⊂ Q).
3. p의 진리집합 P를 구하고, 그것의 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
4. Pᶜ과 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Pᶜ이 Q에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
927번 문제와 비교하여, 필요조건(Q⊂Pᶜ)과 충분조건(Pᶜ⊂Q)의 차이를 명확히 구분해야 합니다.
”
부정 명제가 충분조건이 될 때의 범위 찾기 (Pᶜ⊂Q)
“
진리집합의 포함 관계가 주어졌을 때, 두 조건 사이의 필요/충분조건 관계를 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건 (A∪B) – B = A – B 를 간단히 하여 A와 B의 관계를 파악합니다.
– (A∪B)∩Bᶜ = A∩Bᶜ
– (A∩Bᶜ)∪(B∩Bᶜ) = A∩Bᶜ
– (A∩Bᶜ)∪∅ = A∩Bᶜ. 이는 A-B=A-B 이므로 항등식입니다.
2. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A⊂B를 유도함. 만약 (A∪B) – B = ∅ 이었다면 A⊂B가 됨)
3. 해설 기준: A⊂B 라는 포함 관계를 이끌어냈다고 가정합니다.
4. **(A⊂B 이므로) p→q가 참**입니다. 따라서 p는 q이기 위한 **충분조건**입니다.
주의할 점:
복잡한 집합 연산을 통해 두 집합의 포함 관계를 먼저 밝혀낸 뒤, 그 관계를 필요/충분조건으로 해석하는 문제입니다.
”
진리집합의 연산과 필요/충분조건 관계 추론
“
세 집합의 포함 관계를 통해 세 조건 사이의 필요/충분조건 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. R⊂(P∩Q) 라는 것은, R⊂P 이고 동시에 R⊂Q 임을 의미합니다.
2. (r과 p의 관계) R⊂P 이므로 r→p는 참입니다. 따라서 r은 p이기 위한 **충분조건**입니다.
3. (p와 q의 관계) P와 Q 사이의 포함 관계는 주어지지 않았으므로, 아무 관계도 아닙니다.
4. (r과 q의 관계) R⊂Q 이므로 r→q는 참입니다. 따라서 r은 q이기 위한 **충분조건**입니다.
5. (P∪Q)ᶜ ⊂ Rᶜ 의 대우는 R ⊂ (P∪Q) 입니다. R⊂P 이므로 당연히 R⊂(P∪Q)도 성립합니다.
주의할 점:
주어진 집합 포함 관계를 벤 다이어그램으로 그려보면, 각 조건 사이의 관계를 시각적으로 쉽게 파악할 수 있습니다.
”
세 집합의 포함 관계로 필요/충분조건 찾기
“
명제 p→q와 그 부정 ~p→q가 모두 참일 때의 진리집합 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. p→q가 참이므로, P⊂Q 입니다.
2. ~p→q가 참이므로, Pᶜ⊂Q** 입니다.
3. P와 P의 바깥 영역(Pᶜ)이 모두 Q에 포함되려면, P와 Pᶜ의 합집합, 즉 **전체집합 U가 Q에 포함**되어야 합니다.
4. U⊂Q이고 Q는 U의 부분집합이므로, 결국 **Q=U** (전체집합)가 되어야 합니다.
5. 이 관계를 항상 만족하는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
두 가지 포함 관계를 벤 다이어그램으로 그려보면, Q가 전체 영역을 모두 덮어야만 두 조건을 만족시킬 수 있음을 시각적으로 확인할 수 있습니다.
”
두 명제가 모두 참일 때의 진리집합 관계 (Q=U)
“
역과 대우의 정의를 이해하고, 그 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
(원래 명제) p → q
(역) q → p (가정과 결론을 바꿈)
(대우) ~q → ~p (역을 취한 뒤 각각 부정)
1. 주어진 명제의 역(q→p)과 대우(~q→~p)를 각각 문장으로 만듭니다.
2. 원래 명제, 역, 대우 각각의 참/거짓을 판별합니다.
3. **원래 명제와 대우는 항상 참/거짓을 함께합니다.**
4. ‘역이 참인 명제’는 q→p가 참인 것을 찾으라는 의미입니다.
주의할 점:
네 가지 관계(원래 명제, 역, 이, 대우)를 정확히 구분하고, 특히 명제와 대우의 진리값이 같다는 ‘대우법’은 매우 중요한 논리 규칙입니다.
”
명제의 역과 대우의 정의 및 참/거짓 판별하기
“
명제와 조건의 차이를 구분하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
명제는 참(T) 또는 거짓(F)을 객관적으로 판별할 수 있는 문장이나 식입니다.
반면, 조건은 변수의 값에 따라 참/거짓이 달라지는 문장이나 식입니다.
각 보기를 읽고 참/거짓을 명확하게 판별할 수 있는지 확인합니다.
①, ③, ④, ⑤는 변수 x의 값에 따라 참/거짓이 달라지므로 ‘조건’입니다.
② ‘1+2=4’는 항상 거짓임이 명백하므로 ‘명제’입니다.
주의할 점:
‘거짓인 식’도 명확하게 거짓임이 판별되므로 명제가 될 수 있다는 점을 잊지 말아야 합니다. ‘x는 2의 배수이다’처럼 변수가 있으면 조건, ‘4는 2의 배수이다’처럼 변수가 없으면 명제입니다.
”
부정 명제가 참일 조건 (Pᶜ⊂Q)
“
주어진 명제의 역과 대우를 구하고, 그 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (역) ‘x²=9 이면 |x|=3 이다.’ → |x|=3이면 x는 3 또는 -3이고, 이를 제곱하면 항상 9가 되므로 역은 **참**입니다.
2. (대우) ‘x²≠9 이면 |x|≠3 이다.’ → 원래 명제가 참이므로 대우도 **참**입니다.
3. (원래 명제) ‘|x|=3 이면 x²=9 이다.’ → 원래 명제도 참입니다.
주의할 점:
진리집합의 포함 관계로 참/거짓을 판단할 수 있습니다. p:|x|=3 → P={-3,3}, q:x²=9 → Q={-3,3}. P=Q이므로 p→q와 q→p가 모두 참입니다.
”
명제의 역과 대우의 참/거짓 판별하기
“
주어진 문장이나 식 중에서 명제인 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
각 보기가 변수의 값이나 주관적인 판단에 관계없이 항상 참 또는 거짓으로 결정되는지 확인합니다.
(ㄱ) 소수 2는 짝수이므로 ‘모든 소수는 홀수이다’는 명백히 거짓인 명제입니다.
(ㄴ) x값에 따라 참/거짓이 바뀌므로 ‘조건’입니다.
(ㄷ) ‘가까운’의 기준이 불분명하므로 명제가 아닙니다.
(ㄹ) x+3=7 이라는 방정식은 x=4일 때만 참이므로 ‘조건’입니다.
(ㅁ) 삼각형 내각의 합은 항상 180도이므로, ‘160도이다’는 거짓인 명제입니다.
주의할 점:
수학적 정의나 정리(소수, 삼각형 내각의 합 등)에 위배되는 문장은 ‘거짓인 명제’가 됩니다.
”
명제가 될 수 있는 조건의 이해 (참/거짓 판별)
“
명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제 p→q의 **역**은 **q→p** 입니다.
2. 역이 참이 되려면, q의 진리집합 Q가 p의 진리집합 P에 **완전히 포함되어야** 합니다 (Q⊂P).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 범위를 찾고, 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘역’이 참일 조건은 Q⊂P 이고, ‘원래 명제’가 참일 조건은 P⊂Q 입니다. 두 가지를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
명제의 역이 참이 될 조건 (Q⊂P)과 미지수 범위
