“
역과 대우가 모두 참인 명제를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. **역(q→p)과 대우(~q→~p)가 모두 참**이라는 것은, **원래 명제(p→q)도 참**이라는 것을 의미합니다. (대우가 참이므로)
2. 결국, 이 문제는 **p→q 와 q→p가 모두 참**인 명제를 찾는 것과 같습니다.
3. 이는 두 조건 p와 q가 **필요충분조건** 관계에 있음을 의미하며, 두 조건의 **진리집합 P와 Q가 서로 같아야** 합니다 (P=Q).
4. 각 보기의 p와 q에 대한 진리집합을 구하고, P=Q인 경우를 찾습니다.
주의할 점:
역과 대우가 모두 참 ⇔ 원래 명제와 역이 모두 참 ⇔ p와 q가 필요충분조건 ⇔ P=Q. 이 모든 관계는 동치입니다.
”
역과 대우가 모두 참인 명제 (필요충분조건) 찾기
“
937번 문제와 동일하게 삼단논법과 대우를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제와 그 대우를 나열합니다.
– ~p → q ⇒ ~q → p
– r → ~q ⇒ q → ~r
2. 삼단논법으로 새로운 명제를 만듭니다.
– (~p → q) 이고 (q → ~r) 이므로, **~p → ~r** 입니다. (이것의 대우는 r → p)
3. 이 관계들을 바탕으로 항상 참이라고 할 수 있는 명제를 보기에서 찾습니다.
주의할 점:
주어진 조건으로부터 유도할 수 있는 모든 참인 명제(대우, 삼단논법 결과)를 모두 찾아놓고 보기와 비교하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.
”
삼단논법을 이용한 필요/충분조건 찾기
“
필요조건, 충분조건, 필요충분조건을 진리집합의 포함 관계로 판별하는 문제입니다.
접근법:
p → q (p이면 q이다) 라는 명제에 대하여,
(충분조건) p가 q이기 위한 충분조건 ⇔ p→q가 참 ⇔ P⊂Q
(필요조건) p가 q이기 위한 필요조건 ⇔ q→p가 참 ⇔ Q⊂P
(필요충분조건) p가 q이기 위한 필요충분조건 ⇔ p→q와 q→p가 모두 참 ⇔ P=Q
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P, Q를 구합니다.
2. 두 진리집합의 포함 관계를 확인하여 어떤 조건에 해당하는지 판별합니다.
주의할 점:
화살표를 주는 쪽(p)이 충분조건, 받는 쪽(q)이 필요조건으로 기억하면 편리합니다. (p는 q에게 화살표를 주기에 충분하다.)
”
필요조건, 충분조건의 진리집합 포함 관계 이해
“
네 조건 사이의 관계를 통해 필요충분조건을 찾는, 삼단논법의 응용 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건들을 화살표(→)로 표현하고, 그 대우도 함께 적습니다.
– p → q
– r → s
– ~q → ~r (대우: r → q)
– ~p → s (대우: ~s → p)
2. 삼단논법으로 모든 연결 관계를 찾습니다.
– r → q 이고 q의 대우가 없으므로… (오류, ~q → ~r의 대우는 r→q가 아니라 r→q의 대우가 ~q→~r임. 재해석 필요)
– 해설 기준: r→q (주어짐), p→q (주어짐), r→s (주어짐), ~s→p (주어짐).
– **p → q ↔ r → s** 와 같은 연결고리를 찾아야 합니다. p → r → q → p 와 같은 순환 구조가 생기면 필요충분조건이 됩니다.
주의할 점:
복잡한 관계 속에서 p, q, r, s가 순환하는 연결고리를 찾으면, 그 안에 있는 모든 조건들은 서로에게 필요충분조건이 될 수 있습니다.
”
삼단논법을 이용한 필요충분조건 찾기
“
907번 문제와 동일하게, 명제 p→q가 거짓임을 보이는 반례가 속하는 집합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 p→q의 반례는 **P-Q** 집합에 속합니다.
2. (p 조건) x²-3x-4=0을 풀면 x=4 또는 x=-1. 따라서 P={-1, 4}.
3. (q 조건) x>0 이므로 Q는 0보다 큰 수의 집합입니다.
4. P-Q는 P의 원소 중 Q에 속하지 않는 것을 찾으면 됩니다. 4는 Q에 속하지만, -1은 Q에 속하지 않습니다.
5. 따라서 반례가 되는 원소는 -1 하나뿐입니다.
주의할 점:
각 조건의 진리집합을 정확하게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
방정식의 해를 이용해 명제의 반례 찾기
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주어진 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다. 진리집합의 포함 관계를 이용합니다.
접근법:
1. 명제 ‘p이면 q이다’가 참이 되려면, p의 진리집합 P가 q의 진리집합 Q에 **완전히 포함되어야** 합니다 (P⊂Q).
2. p와 q의 진리집합 P, Q를 각각 부등식으로 표현합니다.
3. 수직선 위에 P가 Q에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다. (-2 ≤ a 이고 5 ≤ a+4)
5. 두 부등식의 공통 범위를 찾아 정수 a의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
p→q가 참 ⇔ P⊂Q 라는 관계는 명제 단원에서 가장 중요한 핵심 원리 중 하나입니다.
”
명제가 참일 조건과 진리집합 포함 관계 (P⊂Q)
“
909번 문제와 동일하게, 명제가 참이 되도록 진리집합의 포함 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 p→q가 참이므로, 진리집합 P⊂Q 여야 합니다.
2. P = {x | a-3 3. 수직선 위에 P가 Q에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. P의 시작점과 끝점이 모두 Q의 범위 안에 있어야 하므로, 1 ≤ a-3 이고 a+1 ≤ 7 이라는 두 개의 부등식을 세웁니다.
5. 두 부등식을 모두 만족하는 a의 공통 범위를 구하고, 정수의 개수를 셉니다.
주의할 점:
포함 관계를 부등식으로 나타낼 때, 등호가 포함되는지 여부를 신중하게 판단해야 합니다. (이 문제에서는 양 끝점이 모두 포함되므로 등호가 들어갑니다.)
”
진리집합 포함 관계를 이용한 미지수 범위 찾기
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부정 명제(~p→q)가 참이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 ~p→q가 참이 되려면, **Pᶜ ⊂ Q** 여야 합니다.
2. 먼저 p의 진리집합 P를 구하고, 이를 이용해 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
3. Pᶜ과 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Pᶜ이 Q에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 a의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
부정(~)이 붙으면 진리집합은 여집합(ᶜ)이 된다는 점을 기억해야 합니다. 여집합의 범위를 구할 때 부등호의 방향과 등호 유무에 주의하세요.
”
부정 명제가 참일 조건과 진리집합 포함 관계 (Pᶜ⊂Q)
“
‘어떤’을 포함하는 명제가 참이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 ‘P에 속하는 어떤 x에 대하여 x는 Q에 속한다’가 참이 되려면, **P와 Q의 교집합이 공집합이 아니어야** 합니다 (P∩Q ≠ ∅). 즉, 두 집합은 적어도 하나의 공통 원소를 가져야 합니다.
2. 두 집합 P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타냅니다.
3. 두 범위가 겹치는 부분이 존재하도록 하는 a의 범위를 찾습니다.
4. 두 범위가 겹치려면, ‘한쪽의 시작점 5. 두 부등식의 공통 범위를 구하여 정수 k의 개수를 셉니다.
주의할 점:
‘어떤’ 명제가 참일 조건은 ‘교집합이 공집합이 아니다’ 입니다. ‘모든’ 명제가 참일 조건(P⊂Q)과 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
어떤’ 명제가 참일 조건 (교집합 존재) 이해하기
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‘모든’을 포함하는 명제가 거짓이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘모든 x에 대하여 p이다’가 거짓이라는 것은, 그 부정인 ‘어떤 x에 대하여 ~p이다’가 참이라는 의미입니다.
2. 조건 p는 x²-2(a-1)x+9 > 0 입니다.
3. 조건 ~p는 x²-2(a-1)x+9 ≤ 0 입니다.
4. ‘어떤 x에 대하여 x²-2(a-1)x+9 ≤ 0이다’가 참이 되려면, 이 부등식을 만족하는 x가 **적어도 하나 존재**해야 합니다.
5. 아래로 볼록한 이차함수의 값이 0 이하인 지점이 존재하려면, 이차함수가 x축과 만나거나(중근) x축 아래로 내려가야(두 실근) 합니다.
6. 따라서 이차방정식의 **판별식 D ≥ 0** 이어야 합니다.
주의할 점:
명제의 참/거짓을 다루기 어려울 때는, 그 부정의 참/거짓을 생각해보는 것이 좋은 전략입니다.
”
모든’ 명제가 거짓일 조건 (부정 활용하여 D≥0)
