“
대우를 이용해 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제의 **대우**는 ‘x≥2 이고 y≥k 이면 x+y≥5 이다’ 입니다.
2. 이 대우 명제가 항상 참이 되어야 합니다.
3. x≥2 이고 y≥k 이므로, 두 부등식의 각 변을 더하면 x+y ≥ 2+k 입니다.
4. x+y가 항상 5 이상이 되려면, x+y의 최솟값인 2+k가 5보다 크거나 같아야 합니다.
5. 따라서, 2+k ≥ 5 라는 부등식을 풀어 k의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
부등식의 덧셈 성질을 이용하여 새로운 부등식을 만들어내고, 두 부등식의 범위를 비교하는 문제입니다.
”
대우를 이용한 부등식 명제의 증명하기
“
삼단논법과 대우를 이용하여 조건들 사이의 관계를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 명제가 모두 참이므로, 그 대우도 모두 참입니다.
– r → q (주어짐) ⇒ ~q → ~r (대우)
– ~r → ~p (주어짐) ⇒ p → r (대우)
2. 삼단논법을 적용합니다.
– (p → r) 이고 (r → q) 이므로, **p → q** 입니다.
– (~q → ~r) 이고 (~r → ~p) 이므로, **~q → ~p** 입니다.
3. 이 관계들을 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
주의할 점:
주어진 명제만으로 연결되지 않을 때는, 그 대우를 구하여 새로운 연결고리를 찾는 것이 삼단논법 문제의 핵심 전략입니다.
”
삼단논법과 대우를 이용한 관계 추론하기
“
역과 대우가 모두 참인 명제를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. **역(q→p)과 대우(~q→~p)가 모두 참**이라는 것은, **원래 명제(p→q)도 참**이라는 것을 의미합니다. (대우가 참이므로)
2. 결국, 이 문제는 **p→q 와 q→p가 모두 참**인 명제를 찾는 것과 같습니다.
3. 이는 두 조건 p와 q가 **필요충분조건** 관계에 있음을 의미하며, 두 조건의 **진리집합 P와 Q가 서로 같아야** 합니다 (P=Q).
4. 각 보기의 p와 q에 대한 진리집합을 구하고, P=Q인 경우를 찾습니다.
주의할 점:
역과 대우가 모두 참 ⇔ 원래 명제와 역이 모두 참 ⇔ p와 q가 필요충분조건 ⇔ P=Q. 이 모든 관계는 동치입니다.
”
역과 대우가 모두 참인 명제 (필요충분조건) 찾기
“
937번 문제와 동일하게 삼단논법과 대우를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제와 그 대우를 나열합니다.
– ~p → q ⇒ ~q → p
– r → ~q ⇒ q → ~r
2. 삼단논법으로 새로운 명제를 만듭니다.
– (~p → q) 이고 (q → ~r) 이므로, **~p → ~r** 입니다. (이것의 대우는 r → p)
3. 이 관계들을 바탕으로 항상 참이라고 할 수 있는 명제를 보기에서 찾습니다.
주의할 점:
주어진 조건으로부터 유도할 수 있는 모든 참인 명제(대우, 삼단논법 결과)를 모두 찾아놓고 보기와 비교하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.
”
삼단논법을 이용한 필요/충분조건 찾기
“
필요조건, 충분조건, 필요충분조건을 진리집합의 포함 관계로 판별하는 문제입니다.
접근법:
p → q (p이면 q이다) 라는 명제에 대하여,
(충분조건) p가 q이기 위한 충분조건 ⇔ p→q가 참 ⇔ P⊂Q
(필요조건) p가 q이기 위한 필요조건 ⇔ q→p가 참 ⇔ Q⊂P
(필요충분조건) p가 q이기 위한 필요충분조건 ⇔ p→q와 q→p가 모두 참 ⇔ P=Q
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P, Q를 구합니다.
2. 두 진리집합의 포함 관계를 확인하여 어떤 조건에 해당하는지 판별합니다.
주의할 점:
화살표를 주는 쪽(p)이 충분조건, 받는 쪽(q)이 필요조건으로 기억하면 편리합니다. (p는 q에게 화살표를 주기에 충분하다.)
”
필요조건, 충분조건의 진리집합 포함 관계 이해
“
네 조건 사이의 관계를 통해 필요충분조건을 찾는, 삼단논법의 응용 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건들을 화살표(→)로 표현하고, 그 대우도 함께 적습니다.
– p → q
– r → s
– ~q → ~r (대우: r → q)
– ~p → s (대우: ~s → p)
2. 삼단논법으로 모든 연결 관계를 찾습니다.
– r → q 이고 q의 대우가 없으므로… (오류, ~q → ~r의 대우는 r→q가 아니라 r→q의 대우가 ~q→~r임. 재해석 필요)
– 해설 기준: r→q (주어짐), p→q (주어짐), r→s (주어짐), ~s→p (주어짐).
– **p → q ↔ r → s** 와 같은 연결고리를 찾아야 합니다. p → r → q → p 와 같은 순환 구조가 생기면 필요충분조건이 됩니다.
주의할 점:
복잡한 관계 속에서 p, q, r, s가 순환하는 연결고리를 찾으면, 그 안에 있는 모든 조건들은 서로에게 필요충분조건이 될 수 있습니다.
”
삼단논법을 이용한 필요충분조건 찾기
“
필요조건이지만 충분조건은 아닌 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니라는 것은,
– q→p는 참 (Q⊂P)
– p→q는 거짓 (P⊄Q)
– 즉, **Q⊂P 이고 P≠Q** 인 관계를 찾는 것입니다.
2. 각 보기의 진리집합 P와 Q를 구하고, 이 포함 관계를 만족하는지 확인합니다.
주의할 점:
필요조건과 충분조건의 정의를 진리집합의 포함 관계로 정확하게 변환할 수 있어야 합니다.
”
필요조건이지만 충분조건은 아닌 것 찾기 (Q⊂P, P≠Q)
“
‘모든’과 ‘어떤’을 포함하는 명제와 그 부정의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (명제) ‘모든 실수 x에 대하여 x²≥0 이다.’ → 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 **참**입니다.
2. (부정) 명제의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x²
주의할 점:
원래 명제가 참이면 그 부정은 항상 거짓이고, 원래 명제가 거짓이면 그 부정은 항상 참입니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제와 그 부정의 참/거짓 판별
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주어진 관계가 필요조건이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 필요조건이 되려면, 명제 **q→p가 참**이어야 합니다.
2. 이는 q의 진리집합 Q가 p의 진리집합 P에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Q⊂P).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
918, 919번의 ‘역이 참일 조건’과 ‘필요조건’은 같은 의미(Q⊂P)입니다.
”
필요조건이 되도록 하는 미지수의 범위 구하기
“
주어진 관계가 충분조건이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 충분조건이 되려면, 명제 **p→q가 참**이어야 합니다.
2. 이는 p의 진리집합 P가 q의 진리집합 Q에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (P⊂Q).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, P가 Q에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 두 부등식의 공통 범위를 찾아 정수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
909, 910번의 ‘명제가 참일 조건’과 ‘충분조건’은 같은 의미(P⊂Q)입니다.
”
충분조건이 되도록 하는 미지수의 범위 구하기
