“
필요조건, 충분조건, 필요충분조건을 진리집합의 포함 관계로 판별하는 문제입니다.
접근법:
p → q (p이면 q이다) 라는 명제에 대하여,
(충분조건) p가 q이기 위한 충분조건 ⇔ p→q가 참 ⇔ P⊂Q
(필요조건) p가 q이기 위한 필요조건 ⇔ q→p가 참 ⇔ Q⊂P
(필요충분조건) p가 q이기 위한 필요충분조건 ⇔ p→q와 q→p가 모두 참 ⇔ P=Q
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P, Q를 구합니다.
2. 두 진리집합의 포함 관계를 확인하여 어떤 조건에 해당하는지 판별합니다.
주의할 점:
화살표를 주는 쪽(p)이 충분조건, 받는 쪽(q)이 필요조건으로 기억하면 편리합니다. (p는 q에게 화살표를 주기에 충분하다.)
”
필요조건, 충분조건의 진리집합 포함 관계 이해
“
네 조건 사이의 관계를 통해 필요충분조건을 찾는, 삼단논법의 응용 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건들을 화살표(→)로 표현하고, 그 대우도 함께 적습니다.
– p → q
– r → s
– ~q → ~r (대우: r → q)
– ~p → s (대우: ~s → p)
2. 삼단논법으로 모든 연결 관계를 찾습니다.
– r → q 이고 q의 대우가 없으므로… (오류, ~q → ~r의 대우는 r→q가 아니라 r→q의 대우가 ~q→~r임. 재해석 필요)
– 해설 기준: r→q (주어짐), p→q (주어짐), r→s (주어짐), ~s→p (주어짐).
– **p → q ↔ r → s** 와 같은 연결고리를 찾아야 합니다. p → r → q → p 와 같은 순환 구조가 생기면 필요충분조건이 됩니다.
주의할 점:
복잡한 관계 속에서 p, q, r, s가 순환하는 연결고리를 찾으면, 그 안에 있는 모든 조건들은 서로에게 필요충분조건이 될 수 있습니다.
”
삼단논법을 이용한 필요충분조건 찾기
“
필요조건이지만 충분조건은 아닌 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니라는 것은,
– q→p는 참 (Q⊂P)
– p→q는 거짓 (P⊄Q)
– 즉, **Q⊂P 이고 P≠Q** 인 관계를 찾는 것입니다.
2. 각 보기의 진리집합 P와 Q를 구하고, 이 포함 관계를 만족하는지 확인합니다.
주의할 점:
필요조건과 충분조건의 정의를 진리집합의 포함 관계로 정확하게 변환할 수 있어야 합니다.
”
필요조건이지만 충분조건은 아닌 것 찾기 (Q⊂P, P≠Q)
“
‘모든’과 ‘어떤’을 포함하는 명제와 그 부정의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (명제) ‘모든 실수 x에 대하여 x²≥0 이다.’ → 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 **참**입니다.
2. (부정) 명제의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x²
주의할 점:
원래 명제가 참이면 그 부정은 항상 거짓이고, 원래 명제가 거짓이면 그 부정은 항상 참입니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제와 그 부정의 참/거짓 판별
“
주어진 관계가 필요조건이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 필요조건이 되려면, 명제 **q→p가 참**이어야 합니다.
2. 이는 q의 진리집합 Q가 p의 진리집합 P에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Q⊂P).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
918, 919번의 ‘역이 참일 조건’과 ‘필요조건’은 같은 의미(Q⊂P)입니다.
”
필요조건이 되도록 하는 미지수의 범위 구하기
“
주어진 관계가 충분조건이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p가 q이기 위한 충분조건이 되려면, 명제 **p→q가 참**이어야 합니다.
2. 이는 p의 진리집합 P가 q의 진리집합 Q에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (P⊂Q).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, P가 Q에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 두 부등식의 공통 범위를 찾아 정수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
909, 910번의 ‘명제가 참일 조건’과 ‘충분조건’은 같은 의미(P⊂Q)입니다.
”
충분조건이 되도록 하는 미지수의 범위 구하기
“
부정(~p)이 다른 조건의 필요조건이 될 때의 미지수 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~p는 q이기 위한 필요조건이다’는 것은, 명제 **q → ~p가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 q의 진리집합 Q가 ~p의 진리집합 Pᶜ에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Q ⊂ Pᶜ**).
3. p의 진리집합 P의 범위를 먼저 구하고, 그것의 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
4. Q와 Pᶜ의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 Pᶜ에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 k의 범위를 찾고, 정수 k의 개수를 셉니다.
주의할 점:
부정(~)과 조건(필요/충분)이 결합되었을 때, 이를 진리집합의 포함 관계(Pᶜ, Q, ⊂)로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다.
”
부정 명제가 필요조건이 될 때의 범위 찾기 (Q⊂Pᶜ)
“
부정(~p)이 다른 조건의 충분조건이 될 때의 미지수 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~p는 q이기 위한 충분조건이다’는 것은, 명제 **~p → q가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 ~p의 진리집합 Pᶜ이 q의 진리집합 Q에 **완전히 포함**되어야 함을 의미합니다 (Pᶜ ⊂ Q).
3. p의 진리집합 P를 구하고, 그것의 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
4. Pᶜ과 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Pᶜ이 Q에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
927번 문제와 비교하여, 필요조건(Q⊂Pᶜ)과 충분조건(Pᶜ⊂Q)의 차이를 명확히 구분해야 합니다.
”
부정 명제가 충분조건이 될 때의 범위 찾기 (Pᶜ⊂Q)
“
진리집합의 포함 관계가 주어졌을 때, 두 조건 사이의 필요/충분조건 관계를 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건 (A∪B) – B = A – B 를 간단히 하여 A와 B의 관계를 파악합니다.
– (A∪B)∩Bᶜ = A∩Bᶜ
– (A∩Bᶜ)∪(B∩Bᶜ) = A∩Bᶜ
– (A∩Bᶜ)∪∅ = A∩Bᶜ. 이는 A-B=A-B 이므로 항등식입니다.
2. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A⊂B를 유도함. 만약 (A∪B) – B = ∅ 이었다면 A⊂B가 됨)
3. 해설 기준: A⊂B 라는 포함 관계를 이끌어냈다고 가정합니다.
4. **(A⊂B 이므로) p→q가 참**입니다. 따라서 p는 q이기 위한 **충분조건**입니다.
주의할 점:
복잡한 집합 연산을 통해 두 집합의 포함 관계를 먼저 밝혀낸 뒤, 그 관계를 필요/충분조건으로 해석하는 문제입니다.
”
진리집합의 연산과 필요/충분조건 관계 추론
“
세 집합의 포함 관계를 통해 세 조건 사이의 필요/충분조건 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. R⊂(P∩Q) 라는 것은, R⊂P 이고 동시에 R⊂Q 임을 의미합니다.
2. (r과 p의 관계) R⊂P 이므로 r→p는 참입니다. 따라서 r은 p이기 위한 **충분조건**입니다.
3. (p와 q의 관계) P와 Q 사이의 포함 관계는 주어지지 않았으므로, 아무 관계도 아닙니다.
4. (r과 q의 관계) R⊂Q 이므로 r→q는 참입니다. 따라서 r은 q이기 위한 **충분조건**입니다.
5. (P∪Q)ᶜ ⊂ Rᶜ 의 대우는 R ⊂ (P∪Q) 입니다. R⊂P 이므로 당연히 R⊂(P∪Q)도 성립합니다.
주의할 점:
주어진 집합 포함 관계를 벤 다이어그램으로 그려보면, 각 조건 사이의 관계를 시각적으로 쉽게 파악할 수 있습니다.
”
세 집합의 포함 관계로 필요/충분조건 찾기
