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명제의 역이 참이 되도록, 즉 Q⊂P가 성립하도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p와 q의 진리집합 P, Q를 각각 구합니다.
2. 수직선 위에 Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
3. Q의 범위가 P의 범위 안에 들어가기 위한 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 a의 범위를 찾고, 정수 a의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘역이 참’이라는 조건을 ‘Q⊂P’로 정확히 변환하는 것이 첫 단계입니다.
”
명제의 역이 참일 조건과 부등식 범위 구하기
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922번 문제와 유사하게, 역과 대우가 모두 참인 명제, 즉 필요충분조건(P=Q)을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P와 Q를 구합니다.
2. P와 Q가 완전히 일치하는 경우를 찾습니다.
– (ㄱ) P={1,2}, Q={1,2} → P=Q
– (ㄴ) P={-1,1}, Q={1} → P≠Q
– (ㄷ) P={x|x>1}, Q={x|x>1} → P=Q
– (ㄹ) A-B=A ⇔ A∩B=∅ (서로소), A⊂Bᶜ ⇔ A∩B=∅. 두 조건은 동치이므로 P=Q.
주의할 점:
각 조건이 나타내는 집합 또는 관계를 정확히 해석하여 두 진리집합이 같은지 판별해야 합니다.
”
역과 대우가 모두 참인 명제 (필요충분조건) 찾기
“
필요조건, 충분조건, 필요충분조건을 판별하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P, Q를 구하거나, 두 조건 사이의 논리적 포함 관계를 파악합니다.
2. (ㄱ) p_x=1, q:x²=1. P⊂Q이지만 P≠Q이므로 **충분조건**.
3. (ㄴ) p:마름모, q:평행사변형. 마름모는 평행사변형의 한 종류이므로 P⊂Q. **충분조건**.
4. (ㄷ) p_xy=0 ⇔ x=0 또는 y=0. q:|x|+|y|=0 ⇔ x=0 그리고 y=0. Q⊂P이지만 P≠Q이므로 **필요조건**.
5. (ㄹ) p:A⊂(B∩C), q:A⊂B이고 A⊂C. 두 조건은 동치입니다. **필요충분조건**.
주의할 점:
도형의 포함 관계(마름모⊂평행사변형)와 논리 연산자(‘또는’, ‘그리고’)의 의미를 정확히 구분해야 합니다.
”
필요조건, 충분조건 종합 판별 문제
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주어진 관계가 필요조건이 되도록 하는 미지수의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘~q는 ~p이기 위한 필요조건이다’는 것은, 명제 **~p → ~q가 참**이라는 의미입니다.
2. 이는 그 대우인 **q → p가 참**이라는 것과 같습니다.
3. 따라서, 진리집합 **Q⊂P**가 성립해야 합니다.
4. P와 Q의 범위를 수직선에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 하는 a의 범위를 찾아 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
복잡한 조건문을 대우를 이용해 q→p로 간단히 바꾸고, 이를 다시 진리집합의 포함관계(Q⊂P)로 변환하는 과정이 중요합니다.
”
필요조건과 대우를 이용한 미지수 범위 찾기
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네 조건 사이의 관계를 화살표로 나타내고, 필요/충분조건을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 조건의 진리집합을 구하거나, 조건 사이의 논리적 관계를 파악하여 화살표(→)의 방향을 결정합니다.
2. (p와 q) x=y 이면 x²=y² 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (p→q)
3. (q와 r) x²=y² 이면 x=y 또는 x=-y 입니다. 이는 |x|=|y|와 동치입니다. (q↔r)
4. (p와 s) x=y 이면 x³=y³ 이고, 그 역도 성립합니다. (p↔s)
5. (r과 s) |x|=|y|와 x³=y³ 사이에는 직접적인 포함 관계가 성립하지 않습니다.
6. 화살표 관계를 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
주의할 점:
두 조건이 필요충분조건인지(진리집합이 같은지), 아니면 한쪽 방향으로만 포함되는지 정확히 구분해야 합니다.
”
네 조건 사이의 필요/충분조건 관계 분석하기
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산술-기하 평균 부등식과 관련된 필요/충분조건 문제입니다.
접근법:
1. (p↔q) a≥0, b≥0 이라는 전제 하에, a+b≥2√ab 는 산술-기하 평균 부등식이며 항상 성립합니다. 등호는 a=b일 때 성립합니다. 따라서 a+b=2√ab 와 a=b는 **필요충분조건**입니다.
2. (p와 r) a=b=0 이면 |a|+|b|=0 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (p→r)
3. (q와 r) a=b 이고 a≥0, b≥0 이면 |a|+|b|=0이 항상 성립하는 것은 아닙니다. (a=b=1일 때 |a|+|b|=2)
4. 관계를 종합하면, q는 p이기 위한 필요충분조건, p는 r이기 위한 충분조건입니다.
주의할 점:
산술-기하 평균 부등식이 성립하기 위한 전제 조건(두 수가 0 이상)과 등호 성립 조건(두 수가 같을 때)을 명확히 알고 있어야 합니다.
”
산술-기하 평균과 필요충분조건의 이해
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네 조건 사이의 관계를 통해 필요/충분/필요충분조건을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 조건의 진리집합을 생각하며 포함 관계를 따집니다.
2. (p와 q) A⊂B이면 A∩B=A 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
3. (p와 r) A⊂B이면 A∪B=B 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
4. (p와 s) A⊂B이면 A-B=∅ 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
5. 따라서 p, q, r, s는 모두 서로에게 필요충분조건입니다.
주의할 점:
집합의 포함 관계(A⊂B)와 동치인 여러 표현들을 정확하게 암기하고 있어야 합니다.
”
집합의 포함 관계와 필요충분조건 찾기
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‘모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 전체집합 U={-1, 0, 1}의 원소를 각 조건에 대입해 봅니다.
2. (p) ‘어떤 x에 대해 x+2>4 (즉, x>2) 이다.’ U의 원소 중 x>2를 만족하는 것은 없으므로 p는 **거짓**입니다.
3. (q) ‘모든 x에 대해 x²+3≥2 이다.’ U의 모든 원소(-1,0,1)는 이 부등식을 만족하므로 q는 **참**입니다.
4. p는 거짓인 명제, q는 참인 명제입니다. p→q는 ‘거짓→참’ 이므로 **참**입니다. q→p는 ‘참→거짓’이므로 **거짓**입니다.
5. 따라서 p는 q이기 위한 **충분조건**입니다.
주의할 점:
명제 p가 거짓일 경우, p→q는 q의 참/거짓에 관계없이 항상 참이 됩니다. (진공 참)
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 필요/충분조건 판별
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절대부등식과 관련된 필요/충분조건 문제입니다.
접근법:
1. (p) ax²+bx+c > 0. 이는 이차함수가 x축 위에 떠 있다는 의미입니다.
2. (q) b²-4ac 3. **(p와 q의 관계)** ‘모든 실수 x에 대하여’ ax²+bx+c > 0 이 성립하려면, **a>0 이고 b²-4ac 4. 따라서, q는 p이기 위한 **필요조건**이지만, a>0 조건이 없으므로 충분조건은 아닙니다. (반례: a
주의할 점:
‘모든 x에 대한 이차부등식’의 성립 조건은 최고차항의 계수(a)의 부호와 판별식(D)의 부호를 함께 고려해야 합니다.
”
절대부등식과 필요/충분조건의 관계
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절댓값 부등식을 포함한 조건들의 필요/충분 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) |x|+|y|=0 ⇔ x=0 이고 y=0. x²+y²=0 ⇔ x=0 이고 y=0. 두 조건은 **필요충분조건**입니다.
2. (ㄴ) x>y>0 이면 x²>y² 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (반례: x=-2, y=-1 이면 x²>y² 이지만 x>y>0이 아님). **충분조건**.
3. (ㄷ) |x+y|=|x|+|y| ⇔ xy≥0. xy>0이면 xy≥0이므로 **충분조건**입니다.
주의할 점:
절댓값과 관련된 여러 등식/부등식이 어떤 의미를 갖는지 정확히 알고 있어야 합니다. (예: |a+b|=|a|+|b| ⇔ ab≥0, |a+b|
”
절댓값 부등식과 필요/충분조건 관계 판별
