“
907번 문제와 동일하게, 명제가 거짓임을 보이는 반례를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 반례는 가정을 만족하면서(P에 속하면서), 결론은 만족하지 않는(Q에 속하지 않는) 원소입니다. (P-Q)
2. (p) 8의 약수: P = {1, 2, 4, 8}
3. (q) 4의 약수: Q = {1, 2, 4}
4. P-Q는 P의 원소 중 Q에 없는 것을 찾으면 되므로, {8} 입니다.
주의할 점:
반례는 항상 ‘가정’의 진리집합에서 찾아야 합니다.
”
명제가 거짓임을 보이는 반례 찾기 (P-Q)
“
주어진 명제가 참이 되도록 진리집합의 포함 관계(P⊂Q)를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. p: |x-1|≤3 의 해를 구합니다. P = {x | -2 ≤ x ≤ 4}.
2. q: |x-a|≤2 의 해를 구합니다. Q = {x | a-2 ≤ x ≤ a+2}.
3. p→q가 참이므로 P⊂Q가 성립해야 합니다.
4. 수직선 위에 P가 Q에 포함되도록 그림을 그리고, 끝점에 대한 부등식을 세웁니다. (a-2 ≤ -2 이고 4 ≤ a+2)
5. 두 부등식의 공통 범위를 찾아 정수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
절댓값 부등식을 정확하게 풀고, 수직선 위에서 포함 관계를 올바르게 표현하는 것이 중요합니다.
”
p→q가 참일 조건과 절댓값 부등식 풀기
“
명제의 역이 참이 되도록, 즉 Q⊂P가 성립하도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. p와 q의 진리집합 P, Q를 각각 구합니다.
2. 수직선 위에 Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
3. Q의 범위가 P의 범위 안에 들어가기 위한 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 a의 범위를 찾고, 정수 a의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘역이 참’이라는 조건을 ‘Q⊂P’로 정확히 변환하는 것이 첫 단계입니다.
”
명제의 역이 참일 조건과 부등식 범위 구하기
“
922번 문제와 유사하게, 역과 대우가 모두 참인 명제, 즉 필요충분조건(P=Q)을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 p, q에 대한 진리집합 P와 Q를 구합니다.
2. P와 Q가 완전히 일치하는 경우를 찾습니다.
– (ㄱ) P={1,2}, Q={1,2} → P=Q
– (ㄴ) P={-1,1}, Q={1} → P≠Q
– (ㄷ) P={x|x>1}, Q={x|x>1} → P=Q
– (ㄹ) A-B=A ⇔ A∩B=∅ (서로소), A⊂Bᶜ ⇔ A∩B=∅. 두 조건은 동치이므로 P=Q.
주의할 점:
각 조건이 나타내는 집합 또는 관계를 정확히 해석하여 두 진리집합이 같은지 판별해야 합니다.
”
역과 대우가 모두 참인 명제 (필요충분조건) 찾기
“
진리집합의 포함 관계가 주어졌을 때, 두 조건 사이의 필요/충분조건 관계를 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 조건 (A∪B) – B = A – B 를 간단히 하여 A와 B의 관계를 파악합니다.
– (A∪B)∩Bᶜ = A∩Bᶜ
– (A∩Bᶜ)∪(B∩Bᶜ) = A∩Bᶜ
– (A∩Bᶜ)∪∅ = A∩Bᶜ. 이는 A-B=A-B 이므로 항등식입니다.
2. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A⊂B를 유도함. 만약 (A∪B) – B = ∅ 이었다면 A⊂B가 됨)
3. 해설 기준: A⊂B 라는 포함 관계를 이끌어냈다고 가정합니다.
4. **(A⊂B 이므로) p→q가 참**입니다. 따라서 p는 q이기 위한 **충분조건**입니다.
주의할 점:
복잡한 집합 연산을 통해 두 집합의 포함 관계를 먼저 밝혀낸 뒤, 그 관계를 필요/충분조건으로 해석하는 문제입니다.
”
진리집합의 연산과 필요/충분조건 관계 추론
“
세 집합의 포함 관계를 통해 세 조건 사이의 필요/충분조건 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. R⊂(P∩Q) 라는 것은, R⊂P 이고 동시에 R⊂Q 임을 의미합니다.
2. (r과 p의 관계) R⊂P 이므로 r→p는 참입니다. 따라서 r은 p이기 위한 **충분조건**입니다.
3. (p와 q의 관계) P와 Q 사이의 포함 관계는 주어지지 않았으므로, 아무 관계도 아닙니다.
4. (r과 q의 관계) R⊂Q 이므로 r→q는 참입니다. 따라서 r은 q이기 위한 **충분조건**입니다.
5. (P∪Q)ᶜ ⊂ Rᶜ 의 대우는 R ⊂ (P∪Q) 입니다. R⊂P 이므로 당연히 R⊂(P∪Q)도 성립합니다.
주의할 점:
주어진 집합 포함 관계를 벤 다이어그램으로 그려보면, 각 조건 사이의 관계를 시각적으로 쉽게 파악할 수 있습니다.
”
세 집합의 포함 관계로 필요/충분조건 찾기
“
네 조건 사이의 관계를 화살표로 나타내고, 필요/충분조건을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 조건의 진리집합을 구하거나, 조건 사이의 논리적 관계를 파악하여 화살표(→)의 방향을 결정합니다.
2. (p와 q) x=y 이면 x²=y² 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (p→q)
3. (q와 r) x²=y² 이면 x=y 또는 x=-y 입니다. 이는 |x|=|y|와 동치입니다. (q↔r)
4. (p와 s) x=y 이면 x³=y³ 이고, 그 역도 성립합니다. (p↔s)
5. (r과 s) |x|=|y|와 x³=y³ 사이에는 직접적인 포함 관계가 성립하지 않습니다.
6. 화살표 관계를 바탕으로 각 보기의 필요/충분조건이 맞는지 판별합니다.
주의할 점:
두 조건이 필요충분조건인지(진리집합이 같은지), 아니면 한쪽 방향으로만 포함되는지 정확히 구분해야 합니다.
”
네 조건 사이의 필요/충분조건 관계 분석하기
“
산술-기하 평균 부등식과 관련된 필요/충분조건 문제입니다.
접근법:
1. (p↔q) a≥0, b≥0 이라는 전제 하에, a+b≥2√ab 는 산술-기하 평균 부등식이며 항상 성립합니다. 등호는 a=b일 때 성립합니다. 따라서 a+b=2√ab 와 a=b는 **필요충분조건**입니다.
2. (p와 r) a=b=0 이면 |a|+|b|=0 이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. (p→r)
3. (q와 r) a=b 이고 a≥0, b≥0 이면 |a|+|b|=0이 항상 성립하는 것은 아닙니다. (a=b=1일 때 |a|+|b|=2)
4. 관계를 종합하면, q는 p이기 위한 필요충분조건, p는 r이기 위한 충분조건입니다.
주의할 점:
산술-기하 평균 부등식이 성립하기 위한 전제 조건(두 수가 0 이상)과 등호 성립 조건(두 수가 같을 때)을 명확히 알고 있어야 합니다.
”
산술-기하 평균과 필요충분조건의 이해
“
네 조건 사이의 관계를 통해 필요/충분/필요충분조건을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 조건의 진리집합을 생각하며 포함 관계를 따집니다.
2. (p와 q) A⊂B이면 A∩B=A 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
3. (p와 r) A⊂B이면 A∪B=B 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
4. (p와 s) A⊂B이면 A-B=∅ 이고, 그 역도 성립합니다. (필요충분조건)
5. 따라서 p, q, r, s는 모두 서로에게 필요충분조건입니다.
주의할 점:
집합의 포함 관계(A⊂B)와 동치인 여러 표현들을 정확하게 암기하고 있어야 합니다.
”
집합의 포함 관계와 필요충분조건 찾기
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‘모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 전체집합 U={-1, 0, 1}의 원소를 각 조건에 대입해 봅니다.
2. (p) ‘어떤 x에 대해 x+2>4 (즉, x>2) 이다.’ U의 원소 중 x>2를 만족하는 것은 없으므로 p는 **거짓**입니다.
3. (q) ‘모든 x에 대해 x²+3≥2 이다.’ U의 모든 원소(-1,0,1)는 이 부등식을 만족하므로 q는 **참**입니다.
4. p는 거짓인 명제, q는 참인 명제입니다. p→q는 ‘거짓→참’ 이므로 **참**입니다. q→p는 ‘참→거짓’이므로 **거짓**입니다.
5. 따라서 p는 q이기 위한 **충분조건**입니다.
주의할 점:
명제 p가 거짓일 경우, p→q는 q의 참/거짓에 관계없이 항상 참이 됩니다. (진공 참)
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 필요/충분조건 판별
