“
주어진 문장이나 식 중에서 명제인 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
각 보기가 변수의 값이나 주관적인 판단에 관계없이 항상 참 또는 거짓으로 결정되는지 확인합니다.
(ㄱ) 소수 2는 짝수이므로 ‘모든 소수는 홀수이다’는 명백히 거짓인 명제입니다.
(ㄴ) x값에 따라 참/거짓이 바뀌므로 ‘조건’입니다.
(ㄷ) ‘가까운’의 기준이 불분명하므로 명제가 아닙니다.
(ㄹ) x+3=7 이라는 방정식은 x=4일 때만 참이므로 ‘조건’입니다.
(ㅁ) 삼각형 내각의 합은 항상 180도이므로, ‘160도이다’는 거짓인 명제입니다.
주의할 점:
수학적 정의나 정리(소수, 삼각형 내각의 합 등)에 위배되는 문장은 ‘거짓인 명제’가 됩니다.
”
명제가 될 수 있는 조건의 이해 (참/거짓 판별)
“
명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 명제 p→q의 **역**은 **q→p** 입니다.
2. 역이 참이 되려면, q의 진리집합 Q가 p의 진리집합 P에 **완전히 포함되어야** 합니다 (Q⊂P).
3. P와 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다.
5. 부등식을 풀어 a의 범위를 찾고, 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘역’이 참일 조건은 Q⊂P 이고, ‘원래 명제’가 참일 조건은 P⊂Q 입니다. 두 가지를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
명제의 역이 참이 될 조건 (Q⊂P)과 미지수 범위
“
주어진 명제의 부정을 올바르게 표현한 것을 찾는 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 또는’과 부등호가 포함된 명제의 부정 구하기
‘~이다’의 부정은 ‘~이 아니다’입니다.
‘또는(or)’의 부정은 ‘그리고(and)’입니다.
‘ 의 부정은 ‘≥’ 입니다.
주어진 명제는 ‘a
부등식의 부정을 만들 때 등호가 포함되는지 여부를 주의 깊게 확인해야 합니다. ‘작다’의 부정은 ‘크거나 같다’입니다.
“
918번 문제와 동일하게, 명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수 k의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 p→q의 역은 q→p 입니다.
2. 역이 참이 되려면, 진리집합 **Q⊂P** 여야 합니다.
3. p와 q의 진리집합을 각각 부등식의 해로 구합니다.
4. 수직선 위에 Q가 P에 포함되도록 그림을 그립니다.
5. P의 범위가 Q의 범위를 완전히 덮도록 하는 k의 범위를 부등식으로 세우고, 정수 k의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
각 부등식을 풀어 진리집합의 범위를 정확하게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
명제의 역이 참이 되도록 하는 미지수 k값 찾기
“
903번 문제와 동일하게, 부등식과 ‘또는’, ‘그리고’가 포함된 명제의 부정을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 조건: (x ≤ -2) 또는 (x > 3)
2. 각 조건의 부정:
– (x ≤ -2)의 부정은 (x > -2)
– (x > 3)의 부정은 (x ≤ 3)
3. ‘또는’의 부정은 ‘그리고’입니다.
4. 따라서 전체의 부정은 ‘(x > -2) 그리고 (x ≤ 3)’ 이 되며, 이를 하나의 부등식으로 표현하면 -2
주의할 점:
수직선을 그려서 원래 조건의 범위를 표시한 뒤, 그 범위의 ‘여집합’을 구한다고 생각하면 시각적으로 쉽게 이해할 수 있습니다.
”
수직선을 이용한 명제의 부정 범위 구하기
“
명제의 대우를 이용하여, 원래 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘x>a 이면 x²-8x-20≠0 이다’ 라는 명제가 참이 되기 위한 조건을 직접 구하기는 어렵습니다.
2. **원래 명제와 대우는 참/거짓을 함께**하므로, 이 명제의 **대우**가 참이 될 조건을 대신 구합니다.
3. (대우) ‘x²-8x-20=0 이면 x≤a 이다.’
4. 이차방정식 x²-8x-20=0의 해를 구합니다. (x=10 또는 x=-2)
5. 이 해들이 모두 결론(x≤a)을 만족해야 합니다. 즉, 10≤a 이고 -2≤a 여야 합니다.
6. 두 조건을 모두 만족하는 a의 범위는 a≥10 이므로, a의 최솟값은 10입니다.
주의할 점:
‘~가 아니다(≠)’ 와 같은 부정적인 결론을 가진 명제는, 대우를 취하여 긍정적인 결론(‘~이다(=)’)으로 바꾸어 풀면 훨씬 쉬워집니다.
”
대우를 이용한 명제의 증명 (부정형 결론 문제)
“
‘모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 부정을 만드는 문제입니다.
접근법:
‘모든’의 부정은 ‘어떤’이 됩니다.
‘~이다’의 부정은 ‘~이 아니다’가 됩니다.
주어진 명제는 ‘모든 실수 x에 대하여 x²-4x+5 > 0 이다’ 이므로, 이 명제의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x²-4x+5 ≤ 0 이다’가 됩니다.
주의할 점:
‘모든’의 부정은 ‘어떤’, ‘어떤’의 부정은 ‘모든’으로 바뀐다는 점과, 서술어 부분도 함께 부정해야 한다는 점을 잊지 말아야 합니다.
”
모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 부정 만들기
“
‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함하는 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
‘모든’ 명제: 모든 원소가 조건을 만족해야 참입니다. 단 하나의 반례라도 있으면 거짓입니다.
‘어떤’ 명제: 조건을 만족하는 원소가 단 하나라도 있으면 참입니다. 모든 원소가 만족하지 않아야 거짓입니다.
(ㄴ) ‘모든’ 실수 x에 대해 x²≥x 인가? (반례: x=1/2 이면 1/4 (ㄷ) ‘어떤’ 실수 x에 대해 |x|
주의할 점:
‘모든’ 명제의 거짓을 보일 때는 반례를, ‘어떤’ 명제의 참을 보일 때는 성립하는 예를 하나만 찾으면 됩니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 참/거짓 판별하기
“
명제 p→q가 거짓임을 보이는 반례를 찾는 문제입니다.
접근법:
명제 ‘p이면 q이다’가 거짓임을 보이는 반례는, **가정 p는 만족하지만(p에 속하지만), 결론 q는 만족하지 않는(q에 속하지 않는)** 원소들의 집합입니다.
이를 집합으로 표현하면 **P-Q** (또는 P∩Qᶜ) 입니다.
주어진 조건 p, q를 만족하는 진리집합 P, Q를 각각 구하고, P-Q에 속하는 원소를 찾습니다.
주의할 점:
반례는 반드시 가정(P)의 원소 중에서 찾아야 합니다. 가정 자체를 만족하지 않는 원소는 반례가 될 수 없습니다.
”
명제가 거짓임을 보이는 반례 찾기 (P-Q)
“
907번 문제와 동일하게, 명제 p→q가 거짓임을 보이는 반례가 속하는 집합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 p→q의 반례는 **P-Q** 집합에 속합니다.
2. (p 조건) x²-3x-4=0을 풀면 x=4 또는 x=-1. 따라서 P={-1, 4}.
3. (q 조건) x>0 이므로 Q는 0보다 큰 수의 집합입니다.
4. P-Q는 P의 원소 중 Q에 속하지 않는 것을 찾으면 됩니다. 4는 Q에 속하지만, -1은 Q에 속하지 않습니다.
5. 따라서 반례가 되는 원소는 -1 하나뿐입니다.
주의할 점:
각 조건의 진리집합을 정확하게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
방정식의 해를 이용해 명제의 반례 찾기
