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907번 문제와 동일하게, 명제 p→q가 거짓임을 보이는 반례가 속하는 집합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 p→q의 반례는 **P-Q** 집합에 속합니다.
2. (p 조건) x²-3x-4=0을 풀면 x=4 또는 x=-1. 따라서 P={-1, 4}.
3. (q 조건) x>0 이므로 Q는 0보다 큰 수의 집합입니다.
4. P-Q는 P의 원소 중 Q에 속하지 않는 것을 찾으면 됩니다. 4는 Q에 속하지만, -1은 Q에 속하지 않습니다.
5. 따라서 반례가 되는 원소는 -1 하나뿐입니다.
주의할 점:
각 조건의 진리집합을 정확하게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
방정식의 해를 이용해 명제의 반례 찾기
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주어진 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다. 진리집합의 포함 관계를 이용합니다.
접근법:
1. 명제 ‘p이면 q이다’가 참이 되려면, p의 진리집합 P가 q의 진리집합 Q에 **완전히 포함되어야** 합니다 (P⊂Q).
2. p와 q의 진리집합 P, Q를 각각 부등식으로 표현합니다.
3. 수직선 위에 P가 Q에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. 수직선을 보고, 각 끝점의 대소 관계를 만족하는 부등식을 세웁니다. (-2 ≤ a 이고 5 ≤ a+4)
5. 두 부등식의 공통 범위를 찾아 정수 a의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
p→q가 참 ⇔ P⊂Q 라는 관계는 명제 단원에서 가장 중요한 핵심 원리 중 하나입니다.
”
명제가 참일 조건과 진리집합 포함 관계 (P⊂Q)
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909번 문제와 동일하게, 명제가 참이 되도록 진리집합의 포함 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 p→q가 참이므로, 진리집합 P⊂Q 여야 합니다.
2. P = {x | a-3 3. 수직선 위에 P가 Q에 포함되도록 그림을 그립니다.
4. P의 시작점과 끝점이 모두 Q의 범위 안에 있어야 하므로, 1 ≤ a-3 이고 a+1 ≤ 7 이라는 두 개의 부등식을 세웁니다.
5. 두 부등식을 모두 만족하는 a의 공통 범위를 구하고, 정수의 개수를 셉니다.
주의할 점:
포함 관계를 부등식으로 나타낼 때, 등호가 포함되는지 여부를 신중하게 판단해야 합니다. (이 문제에서는 양 끝점이 모두 포함되므로 등호가 들어갑니다.)
”
진리집합 포함 관계를 이용한 미지수 범위 찾기
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부정 명제(~p→q)가 참이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 명제 ~p→q가 참이 되려면, **Pᶜ ⊂ Q** 여야 합니다.
2. 먼저 p의 진리집합 P를 구하고, 이를 이용해 여집합 Pᶜ의 범위를 구합니다.
3. Pᶜ과 Q의 범위를 수직선 위에 나타내고, Pᶜ이 Q에 포함되도록 하는 부등식을 세웁니다.
4. 부등식을 풀어 a의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
부정(~)이 붙으면 진리집합은 여집합(ᶜ)이 된다는 점을 기억해야 합니다. 여집합의 범위를 구할 때 부등호의 방향과 등호 유무에 주의하세요.
”
부정 명제가 참일 조건과 진리집합 포함 관계 (Pᶜ⊂Q)
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘적어도 한 종류’의 책을 읽은 학생 수, 즉 합집합의 원소 개수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 세 집합의 포함-배제 원리 공식 **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 를 제시합니다.
2. [2단계] 문제에서 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A) 값이 직접 주어지지 않았습니다. ‘A,B를 모두 읽은’과 같은 표현이 이를 의미합니다.
3. [3단계] 문제에서 주어진 모든 값을 공식에 정확히 대입하여 n(A∪B∪C)를 계산합니다.
주의할 점:
873, 887번 문제와 동일한 유형입니다. 문제의 문장을 집합 기호로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 참/거짓 판별하기
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세 집합의 교집합의 원소 개수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합의 교집합 최솟값은 직접적인 공식보다, 포함-배제 원리를 변형하여 접근합니다.
2. n(A∩B∩C) = n(A∪B∪C) – [n(A)+n(B)+n(C)] + [n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)]
3. n(A∪B∪C)는 최대 n(U)=50 입니다. 각 두 집합 교집합의 최댓값은 min(n(A), n(B)) 등입니다.
4. 또는, **n(A∩B∩C) ≥ n(A)+n(B)+n(C) – 2n(U)** 와 같은 부등식을 활용할 수 있습니다. (이 경우, 두 집합 교집합 정보가 없을 때 사용)
5. 이 문제에서는 ‘모두 가입한 학생’이 5명 이상이라고 했으므로, 최솟값은 5가 됩니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 조건(‘5명 이상’)을 직접적으로 활용해야 합니다. 복잡한 계산 없이 답을 찾을 수 있는 경우도 있습니다.
”
약수 집합의 원소 개수와 포함 관계 이해하기
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘두 과목만 신청한’ 학생 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] ‘두 과목만’ 신청한 학생 수는 **[n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A)] – 3 * n(A∩B∩C)** 공식으로 구할 수 있음을 제시합니다.
2. [2단계] 먼저 n(A∪B∪C) = n(U) – n((A∪B∪C)ᶜ) 를 이용해 합집합의 원소 개수를 구합니다.
3. [3단계] 세 집합 합집합 공식을 이용해 **[n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)]** 의 값을 통째로 구합니다.
4. [4단계] 1단계 공식에 모든 값을 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
875번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 공식과 계산 과정을 명확히 보여주는 것이 중요합니다.
”
명제가 거짓임을 보이는 반례 찾기 (P-Q)
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두 집합의 교집합에 대한 정보가 주어졌을 때, 세 집합의 합집합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘A, B, C 중 어느 영화도 관람하지 않은 학생’은 n((A∪B∪C)ᶜ) 입니다.
2. **n(A∪B∪C) = n(U) – n((A∪B∪C)ᶜ)** 공식을 이용해 합집합의 원소 개수를 먼저 구합니다.
3. 이제 합집합 공식을 이용해 n(A∩B∩C)를 구해야 합니다. 이를 위해 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A)를 알아야 합니다.
4. 문제의 ‘A,B를 모두 관람한 학생은 10명’과 같은 조건이 바로 교집합의 원소 개수를 알려주는 것입니다.
5. 모든 값을 공식에 대입하여 n(A∩B∩C)를 찾습니다.
주의할 점:
문제의 문장을 집합 기호로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다. ‘A와 B를 모두’는 A∩B, ‘적어도 하나’는 A∪B∪C, ‘모두 아닌’은 (A∪B∪C)ᶜ을 의미합니다.
”
대칭차집합 원소 개수로 교집합 구하기
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교집합 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] n(A∩B)의 최댓값(M)을 구합니다. 최댓값은 **min(n(A), n(B))** 입니다.
2. [2단계] n(A∩B)의 최솟값(m)을 구합니다. 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다. (단, 0보다 작으면 0)
3. [3단계] M+m의 값을 계산합니다.
주의할 점:
866, 867번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 최댓값과 최솟값을 구하는 원리를 간략하게 설명해주는 것이 좋습니다.
”
방정식의 해를 이용한 반례 찾기
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 가지 신문만 구독하는’ 가구 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] ‘한 종류 신문만’ 구독하는 가구 수는 **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)] + 3n(A∩B∩C)** 공식으로 구할 수 있습니다.
2. [2단계] 주어진 정보 n(U), n(A), n(B), n(C), n(A∩B∩C), n((A∪B∪C)ᶜ)를 이용합니다.
3. 먼저 n(A∪B∪C)를 구하고, 세 집합 합집합 공식을 이용해 **두 개씩의 교집합의 합 [n(A∩B)+…]** 을 구합니다.
4. [3단계] 1단계 공식에 모든 값을 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
878번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계별로 어떤 공식을 사용하고 어떤 값을 구하는지 명확하게 서술해야 합니다.
”
복잡한 집합 연산의 포함 관계 추론하기
