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명제의 대우를 이용하여, 원래 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘x>a 이면 x²-8x-20≠0 이다’ 라는 명제가 참이 되기 위한 조건을 직접 구하기는 어렵습니다.
2. **원래 명제와 대우는 참/거짓을 함께**하므로, 이 명제의 **대우**가 참이 될 조건을 대신 구합니다.
3. (대우) ‘x²-8x-20=0 이면 x≤a 이다.’
4. 이차방정식 x²-8x-20=0의 해를 구합니다. (x=10 또는 x=-2)
5. 이 해들이 모두 결론(x≤a)을 만족해야 합니다. 즉, 10≤a 이고 -2≤a 여야 합니다.
6. 두 조건을 모두 만족하는 a의 범위는 a≥10 이므로, a의 최솟값은 10입니다.
주의할 점:
‘~가 아니다(≠)’ 와 같은 부정적인 결론을 가진 명제는, 대우를 취하여 긍정적인 결론(‘~이다(=)’)으로 바꾸어 풀면 훨씬 쉬워집니다.
”
대우를 이용한 명제의 증명 (부정형 결론 문제)
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‘모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 부정을 만드는 문제입니다.
접근법:
‘모든’의 부정은 ‘어떤’이 됩니다.
‘~이다’의 부정은 ‘~이 아니다’가 됩니다.
주어진 명제는 ‘모든 실수 x에 대하여 x²-4x+5 > 0 이다’ 이므로, 이 명제의 부정은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x²-4x+5 ≤ 0 이다’가 됩니다.
주의할 점:
‘모든’의 부정은 ‘어떤’, ‘어떤’의 부정은 ‘모든’으로 바뀐다는 점과, 서술어 부분도 함께 부정해야 한다는 점을 잊지 말아야 합니다.
”
모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 부정 만들기
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‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함하는 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
‘모든’ 명제: 모든 원소가 조건을 만족해야 참입니다. 단 하나의 반례라도 있으면 거짓입니다.
‘어떤’ 명제: 조건을 만족하는 원소가 단 하나라도 있으면 참입니다. 모든 원소가 만족하지 않아야 거짓입니다.
(ㄴ) ‘모든’ 실수 x에 대해 x²≥x 인가? (반례: x=1/2 이면 1/4 (ㄷ) ‘어떤’ 실수 x에 대해 |x|
주의할 점:
‘모든’ 명제의 거짓을 보일 때는 반례를, ‘어떤’ 명제의 참을 보일 때는 성립하는 예를 하나만 찾으면 됩니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 참/거짓 판별하기
“
명제 p→q가 거짓임을 보이는 반례를 찾는 문제입니다.
접근법:
명제 ‘p이면 q이다’가 거짓임을 보이는 반례는, **가정 p는 만족하지만(p에 속하지만), 결론 q는 만족하지 않는(q에 속하지 않는)** 원소들의 집합입니다.
이를 집합으로 표현하면 **P-Q** (또는 P∩Qᶜ) 입니다.
주어진 조건 p, q를 만족하는 진리집합 P, Q를 각각 구하고, P-Q에 속하는 원소를 찾습니다.
주의할 점:
반례는 반드시 가정(P)의 원소 중에서 찾아야 합니다. 가정 자체를 만족하지 않는 원소는 반례가 될 수 없습니다.
”
명제가 거짓임을 보이는 반례 찾기 (P-Q)
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대칭차집합의 원소 개수를 이용하여 교집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A△B = (A-B)∪(B-A) 입니다. 따라서 (A△B)∪(A∩B) = (A-B)∪(B-A)∪(A∩B) = A∪B 입니다.
2. n((A△B)∪(A∩B)) = n(A∪B) = n(A△B) + n(A∩B) 입니다.
3. n(A△B) = n(A) + n(B) – 2n(A∩B) 공식을 이용합니다.
4. 이 식에 n(A)=20, n(B)=28을 대입하고, n(A△B)와 n(A∩B) 사이의 관계식을 세워 연립방정식을 풀어 n(A∩B)를 구합니다.
주의할 점:
대칭차집합과 교집합은 서로소 관계이므로, 두 집합의 합집합의 원소 개수는 각 집합의 원소 개수의 합과 같습니다.
”
명제가 될 수 있는 조건의 이해
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집합의 연산 법칙을 이용하여 주어진 복잡한 식이 의미하는 바를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (B-A)ᶜ = (B∩Aᶜ)ᶜ = Bᶜ∪A
2. A ∩ (Bᶜ∪A) = A (흡수법칙)
3. 따라서 좌변은 **A – [ (A∩C) ∪ (B-C) ]** 로 간단해집니다.
4. 이 결과가 공집합(∅)이므로, A ⊂ [ (A∩C) ∪ (B∩Cᶜ) ] 입니다.
5. 벤 다이어그램을 그려 이 포함 관계가 항상 성립하기 위한 조건을 찾습니다. 이는 **A⊂C** 일 때 성립함을 알 수 있습니다.
주의할 점:
복잡한 연산식을 차근차근 간단히 하고, 최종적으로 얻어진 포함 관계가 의미하는 바를 벤 다이어그램을 통해 해석하는 능력이 필요합니다.
”
또는’과 부등호가 포함된 명제의 부정
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합집합의 원소 개수가 특정 조건을 만족할 때, 미지수의 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B)
2. S(A)는 1부터 5까지의 합, S(B)는 1부터 5까지의 x좌표와 y좌표의 합입니다.
3. B의 원소는 k(k+1)/2 형태로, k=1~5까지의 합입니다.
4. A∩B를 찾아 S(A∩B)를 구합니다. k(k+1)/2가 1~5 사이의 정수가 되는 경우를 찾습니다.
5. 모든 값을 공식에 대입하여 S(A∪B)를 구하고, 이 값이 26임을 이용하여 미지수를 찾습니다. (이 문제에서는 미지수가 없으므로, 계산 결과가 26임을 확인하는 문제일 수 있습니다.)
주의할 점:
각 집합의 원소 합(S)을 정확하게 계산하는 것이 중요합니다. 시그마(∑) 공식을 알고 있으면 B의 원소 합을 더 쉽게 구할 수 있습니다.
”
수직선을 이용한 명제의 부정 구하기
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 동아리에만 가입한’ 학생 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] ‘한 동아리에만’ 가입한 학생 수는 **n(A∪B∪C) – [두 동아리만 가입] – [세 동아리 모두 가입]** 또는, **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+…] + 3n(A∩B∩C)** 공식으로 구할 수 있습니다.
2. [2단계] 주어진 정보를 이용해 공식에 필요한 값들을 찾습니다. ‘모두 가입’은 n(A∩B∩C), ‘모두 가입하지 않음’은 n((A∪B∪C)ᶜ)을 의미합니다.
3. [3단계] 세 집합 합집합 공식을 이용해 먼저 두 개씩의 교집합의 합을 구합니다.
4. [4단계] 1단계 공식에 모든 값을 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
878번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계별로 어떤 값을 구하고 있는지 명확하게 서술해야 합니다.
”
모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 부정
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘적어도 한 종류’의 책을 읽은 학생 수, 즉 합집합의 원소 개수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 세 집합의 포함-배제 원리 공식 **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 를 제시합니다.
2. [2단계] 문제에서 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A) 값이 직접 주어지지 않았습니다. ‘A,B를 모두 읽은’과 같은 표현이 이를 의미합니다.
3. [3단계] 문제에서 주어진 모든 값을 공식에 정확히 대입하여 n(A∪B∪C)를 계산합니다.
주의할 점:
873, 887번 문제와 동일한 유형입니다. 문제의 문장을 집합 기호로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 참/거짓 판별하기
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세 집합의 교집합의 원소 개수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합의 교집합 최솟값은 직접적인 공식보다, 포함-배제 원리를 변형하여 접근합니다.
2. n(A∩B∩C) = n(A∪B∪C) – [n(A)+n(B)+n(C)] + [n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)]
3. n(A∪B∪C)는 최대 n(U)=50 입니다. 각 두 집합 교집합의 최댓값은 min(n(A), n(B)) 등입니다.
4. 또는, **n(A∩B∩C) ≥ n(A)+n(B)+n(C) – 2n(U)** 와 같은 부등식을 활용할 수 있습니다. (이 경우, 두 집합 교집합 정보가 없을 때 사용)
5. 이 문제에서는 ‘모두 가입한 학생’이 5명 이상이라고 했으므로, 최솟값은 5가 됩니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 조건(‘5명 이상’)을 직접적으로 활용해야 합니다. 복잡한 계산 없이 답을 찾을 수 있는 경우도 있습니다.
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약수 집합의 원소 개수와 포함 관계 이해하기
