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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘적어도 한 종류’의 활동을 한 학생 수, 즉 합집합의 원소 개수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 세 집합의 포함-배제 원리 공식 **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 를 제시합니다.
2. [2단계] 문제에서 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A) 값이 직접 주어지지 않았습니다. ‘A,B를 모두’와 같은 표현이 이를 의미합니다.
3. [3단계] 문제에서 주어진 모든 값을 공식에 정확히 대입하여 n(A∪B∪C)를 계산합니다.
주의할 점:
873번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 서술형이므로 공식과 대입 과정을 명확히 보여주는 것이 중요합니다.
”
두 종류만’ 해당하는 원소 개수 (서술형)
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세 집합의 원소 개수 최대/최소 문제와 관련된 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) n(A∩B)의 최댓값은 min(n(A), n(B)) 입니다.
2. (ㄴ) n(B-A) = n(B) – n(A∩B) 입니다. 이 값이 최대가 되려면 n(A∩B)가 최소여야 합니다. n(A∩B)의 최솟값은 n(A)+n(B)-n(U) 입니다.
3. (ㄷ) ‘적어도 하나를 선택’은 n(A∪B) 입니다. ‘아무것도 선택하지 않은’은 n((A∪B)ᶜ) 입니다. n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 이므로, n(A∩B)가 최대일 때 n(A∪B)는 최소가 되고, n((A∪B)ᶜ)는 최대가 됩니다.
주의할 점:
각 집합 연산의 원소 개수가 다른 연산의 원소 개수와 어떻게 연동되는지(최대일 때 최소가 되는 등)를 파악하는 것이 중요합니다.
”
교집합 원소 개수의 최대/최소 (서술형)
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두 집합의 교집합과 포함 관계를 동시에 만족하는 부분집합의 개수를 세는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. **(조건 분석)** 집합 X는 {3,4,5}의 부분집합이면서, {1,2}와의 교집합은 공집합이 아니고, {3,4}와는 교집합이 있어야 합니다. 이는 X가 **{1,2} 중 적어도 하나를 포함**하고, **{3,4} 중 적어도 하나를 포함**해야 함을 의미합니다.
2. (여사건 활용) ‘적어도’ 조건이 두 번 나왔으므로, 여사건을 활용합니다.
– 전체 경우: {1,2,3,4}를 반드시 포함하는 X의 개수
– 여사건 1: {1,2}를 포함하지 않는 경우
– 여사건 2: {3,4}를 포함하지 않는 경우
3. 포함-배제 원리: (전체) – (여1) – (여2) + (여1∩여2) 로 계산합니다.
주의할 점:
두 개의 ‘적어도’ 조건이 결합되어 있어 복잡합니다. 각 조건을 만족하는 경우의 수를 정확히 세고, 포함-배제 원리를 적용해야 합니다.
”
대칭차집합의 원소 합 (서술형)
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배수 집합의 포함 관계와 차집합의 원소 개수를 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. (Aₙ ⊂ A₄∩A₆) A₄∩A₆ = A₁₂ 입니다. 따라서 Aₙ ⊂ A₁₂ 이려면, n은 12의 배수여야 합니다.
2. (A₂-Aₙ ⊂ A₂-A₄) A₂-A₄는 ‘2의 배수이지만 4의 배수는 아닌 수’의 집합입니다. (예: 2, 6, 10, …)
A₂-Aₙ은 ‘2의 배수이지만 n의 배수는 아닌 수’의 집합입니다. 이 포함 관계가 성립하려면, n이 4의 배수여야 합니다.
3. (A₄∪Aₙ ⊂ A₂) A₄ ⊂ A₂는 항상 성립합니다. 따라서 Aₙ ⊂ A₂가 성립하면 됩니다. 이는 n이 2의 배수임을 의미합니다.
4. 세 조건을 모두 만족하는 n의 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
배수 집합의 포함 관계(m이 n의 배수이면 Aₘ⊂Aₙ)와 차집합의 성질을 정확히 이해하고 적용해야 합니다.
”
세 집합 교집합의 최대/최소 (서술형)
“
약수 집합의 원소 개수와 포함 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (나) 조건: A(x)∩A(y) = A(x) 이므로, A(x) ⊂ A(y) 입니다. 약수 집합에서 이는 **x가 y의 약수**임을 의미합니다.
2. (다) 조건: n(A(y)∪A(z))=10. n(A(y)∪A(z)) = n(A(y)) + n(A(z)) – n(A(y)∩A(z)) 입니다.
3. (가) 조건: n(A(x)) + n(A(y)) + n(A(z)) = 20. 이 식과 2, 3번 식을 연립하여 각 집합의 원소 개수를 찾습니다.
4. x가 y의 약수이므로, x는 12 또는 18이 될 수 없습니다. y=18, z=12 (또는 반대) 일 때 조건을 만족하는지 확인하고 x를 구합니다.
주의할 점:
약수 집합의 포함 관계(Aₓ⊂Aᵧ ⇔ x는 y의 약수)를 정확히 이용하고, 원소 개수 공식을 통해 연립방정식을 푸는 문제입니다.
”
명제와 조건의 차이 구분하기
“
대칭차집합의 원소 개수를 이용하여 교집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A△B = (A-B)∪(B-A) 입니다. 따라서 (A△B)∪(A∩B) = (A-B)∪(B-A)∪(A∩B) = A∪B 입니다.
2. n((A△B)∪(A∩B)) = n(A∪B) = n(A△B) + n(A∩B) 입니다.
3. n(A△B) = n(A) + n(B) – 2n(A∩B) 공식을 이용합니다.
4. 이 식에 n(A)=20, n(B)=28을 대입하고, n(A△B)와 n(A∩B) 사이의 관계식을 세워 연립방정식을 풀어 n(A∩B)를 구합니다.
주의할 점:
대칭차집합과 교집합은 서로소 관계이므로, 두 집합의 합집합의 원소 개수는 각 집합의 원소 개수의 합과 같습니다.
”
명제가 될 수 있는 조건의 이해
“
집합의 연산 법칙을 이용하여 주어진 복잡한 식이 의미하는 바를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (B-A)ᶜ = (B∩Aᶜ)ᶜ = Bᶜ∪A
2. A ∩ (Bᶜ∪A) = A (흡수법칙)
3. 따라서 좌변은 **A – [ (A∩C) ∪ (B-C) ]** 로 간단해집니다.
4. 이 결과가 공집합(∅)이므로, A ⊂ [ (A∩C) ∪ (B∩Cᶜ) ] 입니다.
5. 벤 다이어그램을 그려 이 포함 관계가 항상 성립하기 위한 조건을 찾습니다. 이는 **A⊂C** 일 때 성립함을 알 수 있습니다.
주의할 점:
복잡한 연산식을 차근차근 간단히 하고, 최종적으로 얻어진 포함 관계가 의미하는 바를 벤 다이어그램을 통해 해석하는 능력이 필요합니다.
”
또는’과 부등호가 포함된 명제의 부정
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합집합의 원소 개수가 특정 조건을 만족할 때, 미지수의 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B)
2. S(A)는 1부터 5까지의 합, S(B)는 1부터 5까지의 x좌표와 y좌표의 합입니다.
3. B의 원소는 k(k+1)/2 형태로, k=1~5까지의 합입니다.
4. A∩B를 찾아 S(A∩B)를 구합니다. k(k+1)/2가 1~5 사이의 정수가 되는 경우를 찾습니다.
5. 모든 값을 공식에 대입하여 S(A∪B)를 구하고, 이 값이 26임을 이용하여 미지수를 찾습니다. (이 문제에서는 미지수가 없으므로, 계산 결과가 26임을 확인하는 문제일 수 있습니다.)
주의할 점:
각 집합의 원소 합(S)을 정확하게 계산하는 것이 중요합니다. 시그마(∑) 공식을 알고 있으면 B의 원소 합을 더 쉽게 구할 수 있습니다.
”
수직선을 이용한 명제의 부정 구하기
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 동아리에만 가입한’ 학생 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] ‘한 동아리에만’ 가입한 학생 수는 **n(A∪B∪C) – [두 동아리만 가입] – [세 동아리 모두 가입]** 또는, **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+…] + 3n(A∩B∩C)** 공식으로 구할 수 있습니다.
2. [2단계] 주어진 정보를 이용해 공식에 필요한 값들을 찾습니다. ‘모두 가입’은 n(A∩B∩C), ‘모두 가입하지 않음’은 n((A∪B∪C)ᶜ)을 의미합니다.
3. [3단계] 세 집합 합집합 공식을 이용해 먼저 두 개씩의 교집합의 합을 구합니다.
4. [4단계] 1단계 공식에 모든 값을 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
878번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계별로 어떤 값을 구하고 있는지 명확하게 서술해야 합니다.
”
모든’과 ‘어떤’이 포함된 명제의 부정
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘적어도 한 종류’의 책을 읽은 학생 수, 즉 합집합의 원소 개수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 세 집합의 포함-배제 원리 공식 **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 를 제시합니다.
2. [2단계] 문제에서 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A) 값이 직접 주어지지 않았습니다. ‘A,B를 모두 읽은’과 같은 표현이 이를 의미합니다.
3. [3단계] 문제에서 주어진 모든 값을 공식에 정확히 대입하여 n(A∪B∪C)를 계산합니다.
주의할 점:
873, 887번 문제와 동일한 유형입니다. 문제의 문장을 집합 기호로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다.
”
모든’, ‘어떤’ 명제의 참/거짓 판별하기
