“
대칭차집합의 원소 합이 주어졌을 때, 미지수를 찾는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 대칭차집합의 원소 합에 대한 공식 **S(A△B) = S(A) + S(B) – 2*S(A∩B)** 를 제시합니다.
2. [2단계] S(A), S(B), A∩B, S(A∩B)를 각각 미지수 k를 포함한 식으로 구합니다.
3. [3단계] 1단계 공식에 모든 식을 대입하여 k에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
823번 문제와 동일한 유형입니다. 공식을 정확히 알고 적용하는 과정을 단계별로 서술해야 합니다.
”
명제가 참일 조건과 진리집합 포함 관계 (P⊂Q)
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘A와 B는 신청하고 C는 신청하지 않은’ 학생 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 구하려는 집합은 **n((A∩B) – C)** 입니다.
2. [2단계] n((A∩B)-C) = **n(A∩B) – n(A∩B∩C)** 공식을 이용합니다.
3. [3단계] 문제에서 n(A∩B)와 n(A∩B∩C) 값이 주어졌는지 확인하고, 주어지지 않았다면 다른 조건들을 이용해 이 값들을 먼저 구해야 합니다.
4. 모든 값을 구해 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려보면, A와 B의 교집합 영역에서 C와 겹치는 부분을 제외한 영역의 원소 개수를 구하는 것임을 쉽게 알 수 있습니다.
”
새로운 집합의 원소 합 구하기
“
세 집합의 교집합 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] n(A∩B∩C)의 최댓값은 세 집합의 원소 개수 중 가장 작은 값, **min(n(A),n(B),n(C))** 입니다.
2. [2단계] n(A∩B∩C)의 최솟값은 **n(A)+n(B)+n(C) – [n(A∪B)+n(A∪C)] + n(A∪B∪C)** 등 복잡한 부등식을 이용하거나, **벤 다이어그램의 각 영역이 0 이상**이라는 조건을 이용해 구합니다. 가장 일반적인 최솟값 공식은 n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B) – n(B∩C) – n(C∩A) + n(A∩B∩C) = n(A∪B∪C) ≤ n(U) 임을 활용합니다.
3. [3단계] 이 문제에서는 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A)의 정보가 있으므로, **n(A∩B∩C) ≥ n(A∩B)+n(A∩C)-n(A)** 등의 부등식을 활용하여 최솟값의 범위를 좁힙니다.
4. 최댓값과 최솟값을 찾아 합을 구합니다.
주의할 점:
세 집합 교집합의 최솟값은 조건에 따라 매우 복잡해질 수 있습니다. 벤 다이어그램의 각 영역을 미지수로 설정하고 연립부등식을 푸는 것이 가장 일반적인 방법입니다.
”
진리집합 포함 관계를 이용한 미지수 범위 찾기
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘두 종류 이하’의 프로그램을 시청하는 학생 수를 구하는 문제입니다. 여사건을 이용하면 편리합니다.
접근법:
1. [1단계] ‘두 종류 이하’의 여사건은 ‘세 종류 모두’ 시청하는 경우입니다.
2. [2단계] 따라서, **n(U) – n(A∩B∩C)** 를 계산하면 됩니다.
3. [3단계] 세 집합의 합집합 공식을 이용하여 n(A∩B∩C) 값을 먼저 구합니다. (‘적어도 한 편’을 시청했으므로 n(A∪B∪C) = n(U) 입니다.)
4. 구한 값을 2단계 식에 대입하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 표현을 정확히 이해하는 것이 중요합니다. ‘두 종류 이하’는 전체에서 ‘세 종류’를 제외한 것과 같습니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 (서술형)
“
합집합의 여집합, 즉 ‘어느 것도 선택하지 않은’ 학생 수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 n((A∪B)ᶜ) = n(U) – n(A∪B) 입니다.
2. 이 값이 최대가 되려면 **n(A∪B)가 최소**여야 하고, 최소가 되려면 **n(A∪B)가 최대**여야 합니다.
3. (n(A∪B)의 최대) A와 B가 서로소일 때 최대이며, n(A)+n(B) 입니다. (단, n(U)를 넘을 수 없음)
4. (n(A∪B)의 최소) 한 집합이 다른 집합에 포함될 때 최소이며, 두 집합의 원소 개수 중 큰 값과 같습니다. 즉, max(n(A), n(B)) 입니다.
5. n(A∪B)의 최대, 최소를 구해 n((A∪B)ᶜ)의 최대, 최소를 찾고, 그 합을 구합니다.
주의할 점:
합집합의 여집합의 최대/최소를 묻는 것은, 결국 합집합의 최소/최대를 묻는 것과 같습니다.
”
세 집합 합집합의 원소 개수 최솟값 구하기
“
차집합의 원소 개수의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 입니다.
2. n(A)는 18로 고정되어 있으므로, n(A-B)가 최대가 되려면 **n(A∩B)가 최소**가 되어야 합니다.
3. n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다.
4. 이 최솟값을 구해 공식에 대입하여 n(A-B)의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
차집합의 최대/최소는 교집합의 최소/최대와 반대로 움직인다는 점을 이해하는 것이 중요합니다.
”
세 집합 교집합의 원소 개수 최솟값 구하기
“
세 집합의 교집합 원소 개수에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. **(ㄱ) n(A∩B∩C)의 최댓값은 세 집합의 원소 개수 중 가장 작은 값입니다. (min(n(A), n(B), n(C)))
2. **(ㄴ) n(A∩B∩C)의 최솟값은 0일 수 있습니다. (세 집합이 모두 겹치지 않는 영역이 존재할 수 있음)
3. **(ㄷ) 세 집합이 각각 서로소라는 조건만으로는 세 집합의 교집합이 공집합이라고 단정할 수 없습니다. (A∩B=∅, B∩C=∅ 이라도 A∩C는 존재할 수 있음)
주의할 점:
세 집합 이상의 교집합에 대한 최대/최소는 두 집합일 때보다 더 복잡하며, 항상 0이 최솟값이 될 수 있다는 가능성을 열어두어야 합니다.
”
세 집합의 합집합과 교집합 원소 개수 계산
“
실생활 문제에서 세 집합의 포함-배제 원리를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 과목을 각각 집합 A, B, C로 둡니다.
2. **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 공식을 사용합니다.
3. 문제에서 주어진 값들을 공식에 대입합니다.
4. 문제에서 묻는 것은 ‘적어도 한 과목을 신청한 학생 수’, 즉 **n(A∪B∪C)** 입니다.
주의할 점:
세 집합의 합집합 원소 개수 공식은 반드시 암기해야 합니다. 각 항의 부호(+ 또는 -)를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기 (서술형)
“
873번 문제와 동일하게, 세 집합의 포함-배제 원리를 이용하는 문제입니다. 이번에는 **n(A∩B∩C)**를 묻고 있습니다.
접근법:
1. 세 종류의 책을 각각 집합 A, B, C로 둡니다.
2. ‘모두 읽지 않은 학생’은 n((A∪B∪C)ᶜ)을 의미합니다. 이를 이용해 n(A∪B∪C) = n(U) – n((A∪B∪C)ᶜ)를 먼저 구합니다.
3. 세 집합의 합집합 원소 개수 공식에 알고 있는 모든 값을 대입합니다.
4. n(A∩B∩C)에 대한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 정보가 합집합인지, 교집합인지, 여집합인지 정확히 파악하고 공식에 대입해야 합니다.
”
A, B는 포함, C는 제외’ 원소 개수 구하기
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘두 종류의 체험활동만 신청한’ 학생 수를 구하는 문제입니다. 벤 다이어그램을 활용하면 편리합니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 벤 다이어그램에서 두 집합씩만 겹치는 세 개의 영역의 원소 수 합입니다.
2. 이 영역의 합은 **[n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A)] – 3 * n(A∩B∩C)** 로 계산할 수 있습니다.
3. 먼저 세 집합의 합집합 공식을 이용해 n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A) 의 값을 통째로 구합니다.
4. 구한 값에 문제에서 주어진 n(A∩B∩C)를 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램의 각 영역이 어떤 집합 연산을 의미하는지 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
두 종류 이하’ 원소 개수 구하기 (여사건 활용)
