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873번 문제와 동일하게, 세 집합의 포함-배제 원리를 이용하는 문제입니다. 이번에는 **n(A∩B∩C)**를 묻고 있습니다.
접근법:
1. 세 종류의 책을 각각 집합 A, B, C로 둡니다.
2. ‘모두 읽지 않은 학생’은 n((A∪B∪C)ᶜ)을 의미합니다. 이를 이용해 n(A∪B∪C) = n(U) – n((A∪B∪C)ᶜ)를 먼저 구합니다.
3. 세 집합의 합집합 원소 개수 공식에 알고 있는 모든 값을 대입합니다.
4. n(A∩B∩C)에 대한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 정보가 합집합인지, 교집합인지, 여집합인지 정확히 파악하고 공식에 대입해야 합니다.
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A, B는 포함, C는 제외’ 원소 개수 구하기
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘두 종류의 체험활동만 신청한’ 학생 수를 구하는 문제입니다. 벤 다이어그램을 활용하면 편리합니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 벤 다이어그램에서 두 집합씩만 겹치는 세 개의 영역의 원소 수 합입니다.
2. 이 영역의 합은 **[n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A)] – 3 * n(A∩B∩C)** 로 계산할 수 있습니다.
3. 먼저 세 집합의 합집합 공식을 이용해 n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A) 의 값을 통째로 구합니다.
4. 구한 값에 문제에서 주어진 n(A∩B∩C)를 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램의 각 영역이 어떤 집합 연산을 의미하는지 정확히 이해하고 있어야 합니다.
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두 종류 이하’ 원소 개수 구하기 (여사건 활용)
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘적어도 두 종류’의 책을 읽은 학생 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘적어도 두 종류’는 ‘두 종류만 읽은 경우’와 ‘세 종류 모두 읽은 경우’를 합친 것입니다.
2. 벤 다이어그램에서 이 영역은 세 개의 두 집합 교집합 영역과 한 개의 세 집합 교집합 영역의 합입니다.
3. 이 영역의 원소 수는 **[n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A)] – 2 * n(A∩B∩C)** 로 계산할 수 있습니다.
4. 875번 문제와 같이, 먼저 합집합 공식을 이용해 n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A) 값을 구한 뒤, 공식에 대입하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘두 종류만’과 ‘적어도 두 종류’의 차이를 명확히 구분해야 합니다.
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A만’ 해당하는 원소 개수 구하기 (서술형)
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유한집합의 원소 개수와 관련된 여러 공식들의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 공식이 집합의 연산 법칙과 포함-배제 원리에 따라 올바른지 확인합니다.
– (ㄱ) n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 이므로 참입니다.
– (ㄴ) n(Aᶜ) = n(U) – n(A) 이므로 거짓입니다.
– (ㄷ) n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 이므로, n(A)+n(B) = n(A∪B)+n(A∩B) 입니다.
– (ㄹ) n(A△B) = n(A-B)+n(B-A) = n(A)+n(B)-2n(A∩B) 이므로 거짓입니다.
주의할 점:
유한집합의 원소 개수를 다루는 기본적인 공식들을 정확하게 암기하고 있어야 합니다.
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차집합 원소 개수의 최댓값 구하기 (교집합 최소 활용)
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘A, B 중 적어도 하나를 읽고 C는 읽지 않은’ 학생 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 집합은 **(A∪B) – C** 입니다.
2. **n((A∪B)-C) = n(A∪B) – n(A∪B∩C)** 공식을 이용합니다.
3. 분배법칙에 의해 A∪B∩C = (A∩C)∪(B∩C) 입니다.
4. n(A∪B)와 n((A∩C)∪(B∩C)) 값을 각각 포함-배제 원리를 이용해 구한 뒤, 빼서 답을 찾습니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려서 (A∪B) 영역에서 C와 겹치는 부분을 제외하는 방식으로 시각적으로 푸는 것이 더 직관적일 수 있습니다.
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적어도 하나’ (합집합) 원소 개수 구하기 (서술형)
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배수 집합의 원소 개수를 이용하여 차집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 문제에서 구하려는 것은 n(A₃-A₂) 입니다.
2. n(A₃-A₂) = n(A₃) – n(A₃∩A₂) 공식을 이용합니다.
3. n(A₃): 100 이하의 3의 배수의 개수를 구합니다. (100 ÷ 3)
4. n(A₃∩A₂): A₃∩A₂ = A₆ 이므로, 100 이하의 6의 배수의 개수를 구합니다. (100 ÷ 6)
5. 두 값을 구해 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
A₃-A₂는 ‘3의 배수이면서 2의 배수는 아닌 수’의 집합을 의미합니다. 차집합의 원소 개수 공식을 정확히 적용해야 합니다.
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세 집합 교집합의 최대/최소 참/거짓 판별
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 종류의 자격증만 가진’ 사람 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 벤 다이어그램에서 각 집합에만 속하는 세 개의 영역(A-B-C, B-A-C, C-A-B)의 원소 수 합입니다.
2. 이 영역의 합은 **n(A∪B∪C) – [두 종류만 가진 사람 수] – [세 종류 모두 가진 사람 수]** 로 계산할 수 있습니다.
3. 또는, **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)] + 3n(A∩B∩C)** 공식을 이용할 수 있습니다.
4. 문제에 주어진 값들을 이용해 계산합니다. 먼저 두 종류 교집합의 합을 구해야 합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램의 각 영역을 나타내는 공식들을 정확히 알고 있어야 효율적으로 풀 수 있습니다.
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원소 개수의 최대/최소 종합 판별 문제
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배수 집합의 여집합과 교집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다. 드모르간의 법칙을 활용합니다.
접근법:
1. 구하려는 집합은 A₂ᶜ ∩ A₃ᶜ 입니다.
2. 드모르간의 법칙에 의해, **A₂ᶜ ∩ A₃ᶜ = (A₂∪A₃)ᶜ** 입니다.
3. 따라서, **n((A₂∪A₃)ᶜ) = n(U) – n(A₂∪A₃)** 를 계산하면 됩니다.
4. n(A₂∪A₃)는 포함-배제 원리(n(A₂)+n(A₃)-n(A₆))를 이용해 구합니다.
5. 모든 값을 계산하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수’의 개수를 구하는 문제입니다. 드모르간의 법칙을 이용해 합집합의 여집합으로 변환하는 것이 핵심입니다.
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세 집합의 포함-배제 원리 (합집합 원소 개수)
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세 집합의 교집합과 관련된 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘안경만 착용한 학생’은 n(A – (B∪C))를 의미합니다. 이 값을 최대로 만들어야 합니다.
2. **n(A – (B∪C)) = n(A) – n(A∩(B∪C)) = n(A) – [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]**
3. 이 값이 최대가 되려면, 빼주는 값 [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]가 **최소**가 되어야 합니다.
4. 주어진 조건들을 이용해 이 식의 최솟값을 찾습니다. 일반적으로 A와 B, A와 C가 최대한 겹치지 않도록, 즉 B∪C가 A와 최소한으로 겹치도록 설정하면 됩니다.
주의할 점:
세 집합의 원소 개수 최대/최소 문제는 벤 다이어그램을 그려 각 영역의 인원이 0 이상이라는 부등식을 세워 연립하여 푸는 것이 정석적인 방법입니다.
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여러 조건을 만족하는 부분집합 개수 찾기
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862번 문제와 동일한 유형입니다. 배수 집합의 차집합의 원소 개수를 구합니다.
접근법:
1. 구하려는 것은 n(A₅-A₃), 즉 ‘5의 배수이지만 3의 배수는 아닌’ 수의 개수입니다.
2. **n(A₅-A₃) = n(A₅) – n(A₅∩A₃)** 공식을 이용합니다.
3. A₅∩A₃ = A₁₅ (5와 3의 최소공배수는 15) 입니다.
4. 100 이하의 5의 배수 개수와 15의 배수 개수를 각각 세어 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
차집합의 원소 개수를 구할 때는, 두 집합의 교집합의 원소 개수를 빼주어야 합니다.
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세 집합의 포함-배제 원리 (교집합 원소 개수)
