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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘A, B 중 적어도 하나를 읽고 C는 읽지 않은’ 학생 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 집합은 **(A∪B) – C** 입니다.
2. **n((A∪B)-C) = n(A∪B) – n(A∪B∩C)** 공식을 이용합니다.
3. 분배법칙에 의해 A∪B∩C = (A∩C)∪(B∩C) 입니다.
4. n(A∪B)와 n((A∩C)∪(B∩C)) 값을 각각 포함-배제 원리를 이용해 구한 뒤, 빼서 답을 찾습니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려서 (A∪B) 영역에서 C와 겹치는 부분을 제외하는 방식으로 시각적으로 푸는 것이 더 직관적일 수 있습니다.
”
적어도 하나’ (합집합) 원소 개수 구하기 (서술형)
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배수 집합의 원소 개수를 이용하여 차집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 문제에서 구하려는 것은 n(A₃-A₂) 입니다.
2. n(A₃-A₂) = n(A₃) – n(A₃∩A₂) 공식을 이용합니다.
3. n(A₃): 100 이하의 3의 배수의 개수를 구합니다. (100 ÷ 3)
4. n(A₃∩A₂): A₃∩A₂ = A₆ 이므로, 100 이하의 6의 배수의 개수를 구합니다. (100 ÷ 6)
5. 두 값을 구해 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
A₃-A₂는 ‘3의 배수이면서 2의 배수는 아닌 수’의 집합을 의미합니다. 차집합의 원소 개수 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
세 집합 교집합의 최대/최소 참/거짓 판별
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 종류의 자격증만 가진’ 사람 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 벤 다이어그램에서 각 집합에만 속하는 세 개의 영역(A-B-C, B-A-C, C-A-B)의 원소 수 합입니다.
2. 이 영역의 합은 **n(A∪B∪C) – [두 종류만 가진 사람 수] – [세 종류 모두 가진 사람 수]** 로 계산할 수 있습니다.
3. 또는, **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)] + 3n(A∩B∩C)** 공식을 이용할 수 있습니다.
4. 문제에 주어진 값들을 이용해 계산합니다. 먼저 두 종류 교집합의 합을 구해야 합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램의 각 영역을 나타내는 공식들을 정확히 알고 있어야 효율적으로 풀 수 있습니다.
”
원소 개수의 최대/최소 종합 판별 문제
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배수 집합의 여집합과 교집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다. 드모르간의 법칙을 활용합니다.
접근법:
1. 구하려는 집합은 A₂ᶜ ∩ A₃ᶜ 입니다.
2. 드모르간의 법칙에 의해, **A₂ᶜ ∩ A₃ᶜ = (A₂∪A₃)ᶜ** 입니다.
3. 따라서, **n((A₂∪A₃)ᶜ) = n(U) – n(A₂∪A₃)** 를 계산하면 됩니다.
4. n(A₂∪A₃)는 포함-배제 원리(n(A₂)+n(A₃)-n(A₆))를 이용해 구합니다.
5. 모든 값을 계산하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수’의 개수를 구하는 문제입니다. 드모르간의 법칙을 이용해 합집합의 여집합으로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
세 집합의 포함-배제 원리 (합집합 원소 개수)
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세 집합의 교집합과 관련된 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘안경만 착용한 학생’은 n(A – (B∪C))를 의미합니다. 이 값을 최대로 만들어야 합니다.
2. **n(A – (B∪C)) = n(A) – n(A∩(B∪C)) = n(A) – [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]**
3. 이 값이 최대가 되려면, 빼주는 값 [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]가 **최소**가 되어야 합니다.
4. 주어진 조건들을 이용해 이 식의 최솟값을 찾습니다. 일반적으로 A와 B, A와 C가 최대한 겹치지 않도록, 즉 B∪C가 A와 최소한으로 겹치도록 설정하면 됩니다.
주의할 점:
세 집합의 원소 개수 최대/최소 문제는 벤 다이어그램을 그려 각 영역의 인원이 0 이상이라는 부등식을 세워 연립하여 푸는 것이 정석적인 방법입니다.
”
여러 조건을 만족하는 부분집합 개수 찾기
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862번 문제와 동일한 유형입니다. 배수 집합의 차집합의 원소 개수를 구합니다.
접근법:
1. 구하려는 것은 n(A₅-A₃), 즉 ‘5의 배수이지만 3의 배수는 아닌’ 수의 개수입니다.
2. **n(A₅-A₃) = n(A₅) – n(A₅∩A₃)** 공식을 이용합니다.
3. A₅∩A₃ = A₁₅ (5와 3의 최소공배수는 15) 입니다.
4. 100 이하의 5의 배수 개수와 15의 배수 개수를 각각 세어 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
차집합의 원소 개수를 구할 때는, 두 집합의 교집합의 원소 개수를 빼주어야 합니다.
”
세 집합의 포함-배제 원리 (교집합 원소 개수)
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세 집합의 합집합 원소 개수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **n(A∪B∪C)**는 세 집합이 **최대한 많이 겹칠 때** 최소가 됩니다.
2. 세 집합의 원소 개수 중 가장 큰 것은 n(C)=25 입니다.
3. n(A)=20, n(B)=17 이므로, A와 B가 모두 C에 포함되는 극단적인 경우를 상상할 수 있습니다.
4. 따라서, n(A∪B∪C)의 최솟값은 세 집합의 원소 개수 중 **가장 큰 값**인 25가 됩니다.
주의할 점:
세 집합 합집합의 최솟값은 n(A), n(B), n(C) 중 최댓값(max)입니다.
”
배수 집합의 복합적인 포함 관계 이해하기
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배수 집합의 합집합과 교집합의 원소 개수를 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A₄∪A₆가 A₂의 부분집합인지 확인합니다. 4의 배수와 6의 배수는 모두 2의 배수이므로, 합집합 역시 2의 배수에 포함됩니다.
2. (ㄴ) n(A₂-A₃) = n(A₂) – n(A₆) 를 계산하여 확인합니다.
3. (ㄷ) n(A₂∪A₃) = n(A₂) + n(A₃) – n(A₆) 를 계산하여 확인합니다.
4. (ㄹ) n((A₂∪A₃)ᶜ) = n(U) – n(A₂∪A₃) 를 계산하여 확인합니다.
주의할 점:
배수 집합의 포함 관계(m이 n의 배수이면 Aₘ ⊂ Aₙ)와 원소 개수 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
두 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기
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교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (최댓값) n(A∩B)의 최댓값은 두 집합의 원소 개수 중 **작은 값**과 같습니다. 즉, **min(n(A), n(B))** 입니다. 한 집합이 다른 집합에 완전히 포함될 때 발생합니다.
2. (최솟값) n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다. (단, 이 값이 0보다 작으면 최솟값은 0) 이는 합집합의 원소 개수가 전체집합의 원소 개수를 넘어설 수 없을 때 발생합니다.
3. 두 공식을 이용해 최댓값(M)과 최솟값(m)을 구하고, 그 합을 계산합니다.
주의할 점:
교집합의 최대/최소 공식은 반드시 암기해야 합니다. 최솟값 공식의 결과가 음수이면, 실제 최솟값은 0이 됩니다.
”
적어도 두 종류’에 해당하는 원소 개수 구하기
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866번 문제와 동일하게, 교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (최댓값 M) n(A∩B)의 최댓값은 **min(n(A), n(B))** 입니다.
2. (최솟값 m) n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다.
3. 주어진 n(A), n(B), n(U) 값을 공식에 대입하여 M과 m을 구하고, M-m을 계산합니다.
주의할 점:
전체집합의 크기가 주어졌을 때, 교집합의 최솟값을 구하는 공식(n(A)+n(B)-n(U))을 정확히 적용할 수 있어야 합니다.
”
특정 조건을 만족하는 원소 개수 계산하기 (차집합 활용)
