“
합집합의 여집합, 즉 ‘어느 것도 선택하지 않은’ 학생 수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 n((A∪B)ᶜ) = n(U) – n(A∪B) 입니다.
2. 이 값이 최대가 되려면 **n(A∪B)가 최소**여야 하고, 최소가 되려면 **n(A∪B)가 최대**여야 합니다.
3. (n(A∪B)의 최대) A와 B가 서로소일 때 최대이며, n(A)+n(B) 입니다. (단, n(U)를 넘을 수 없음)
4. (n(A∪B)의 최소) 한 집합이 다른 집합에 포함될 때 최소이며, 두 집합의 원소 개수 중 큰 값과 같습니다. 즉, max(n(A), n(B)) 입니다.
5. n(A∪B)의 최대, 최소를 구해 n((A∪B)ᶜ)의 최대, 최소를 찾고, 그 합을 구합니다.
주의할 점:
합집합의 여집합의 최대/최소를 묻는 것은, 결국 합집합의 최소/최대를 묻는 것과 같습니다.
”
세 집합 합집합의 원소 개수 최솟값 구하기
“
차집합의 원소 개수의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 입니다.
2. n(A)는 18로 고정되어 있으므로, n(A-B)가 최대가 되려면 **n(A∩B)가 최소**가 되어야 합니다.
3. n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다.
4. 이 최솟값을 구해 공식에 대입하여 n(A-B)의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
차집합의 최대/최소는 교집합의 최소/최대와 반대로 움직인다는 점을 이해하는 것이 중요합니다.
”
세 집합 교집합의 원소 개수 최솟값 구하기
“
세 집합의 교집합 원소 개수에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. **(ㄱ) n(A∩B∩C)의 최댓값은 세 집합의 원소 개수 중 가장 작은 값입니다. (min(n(A), n(B), n(C)))
2. **(ㄴ) n(A∩B∩C)의 최솟값은 0일 수 있습니다. (세 집합이 모두 겹치지 않는 영역이 존재할 수 있음)
3. **(ㄷ) 세 집합이 각각 서로소라는 조건만으로는 세 집합의 교집합이 공집합이라고 단정할 수 없습니다. (A∩B=∅, B∩C=∅ 이라도 A∩C는 존재할 수 있음)
주의할 점:
세 집합 이상의 교집합에 대한 최대/최소는 두 집합일 때보다 더 복잡하며, 항상 0이 최솟값이 될 수 있다는 가능성을 열어두어야 합니다.
”
세 집합의 합집합과 교집합 원소 개수 계산
“
실생활 문제에서 세 집합의 포함-배제 원리를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 과목을 각각 집합 A, B, C로 둡니다.
2. **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 공식을 사용합니다.
3. 문제에서 주어진 값들을 공식에 대입합니다.
4. 문제에서 묻는 것은 ‘적어도 한 과목을 신청한 학생 수’, 즉 **n(A∪B∪C)** 입니다.
주의할 점:
세 집합의 합집합 원소 개수 공식은 반드시 암기해야 합니다. 각 항의 부호(+ 또는 -)를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기 (서술형)
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배수 집합의 교집합과 합집합의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. **(교집합)** Aₘ ∩ Aₙ = Aₖ 는, m의 배수이면서 동시에 n의 배수인 집합, 즉 **m과 n의 공배수**의 집합입니다. k는 m과 n의 **최소공배수**입니다.
2. **(합집합)** Aₘ ∪ Aₙ ⊂ Aₖ 는, m의 배수 또는 n의 배수인 집합이 k의 배수 집합에 포함된다는 의미입니다. 이는 k가 **m과 n의 공약수**일 때 성립합니다.
3. 이 성질들을 이용해 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
배수 집합의 교집합은 최소공배수의 배수 집합, 합집합은 공약수의 배수 집합에 포함된다는 규칙을 명확히 구분해야 합니다.
”
부분집합의 포함관계 교집합 합집합
“
857번 문제와 동일한 원리를 적용하여, 교집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. n(A∪B) = n(A-B) + n(B-A) + n(A∩B) 공식을 이용합니다.
2. 문제에서 n(A∪B), n(A-B), n(B-A) 값이 주어졌습니다.
3. 공식에 값들을 대입하여 n(A∩B)에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
각 집합 연산이 벤 다이어그램의 어떤 영역을 의미하는지 정확히 알고 있어야 공식을 올바르게 적용할 수 있습니다.
”
실생활 문제와 교집합의 최대/최소 구하기
“
약수 집합의 교집합과 합집합의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. **(교집합)** Aₘ ∩ Aₙ = Aₖ 는, m의 약수이면서 동시에 n의 약수인 집합, 즉 **m과 n의 공약수**의 집합입니다. k는 m과 n의 **최대공약수**입니다.
2. **(합집합)** Aₘ ∪ Aₙ ⊂ Aₖ 는, m의 약수 또는 n의 약수의 집합이 k의 약수 집합에 포함된다는 의미입니다. 이는 k가 **m과 n의 공배수**일 때 성립합니다.
3. 이 성질들을 이용해 주어진 식을 해석하고, 조건을 만족하는 m의 개수를 셉니다.
주의할 점:
약수 집합은 배수 집합과 교집합, 합집합의 성질이 반대입니다. (교집합↔최대공약수, 합집합↔최소공배수)
”
집합과 각각의 두 집합의 포함관계 합집합 교집합
“
두 집합의 포함 관계(A⊂B)가 주어졌을 때, 원소 개수에 대한 설명의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B를 만족하는 벤 다이어그램(A가 B 안에 포함됨)을 그립니다.
2. 벤 다이어그램을 보면서 각 보기의 식이 항상 성립하는지 확인합니다.
– ① n(A) ≤ n(B) : 항상 참입니다.
– ② n(A∩B) = n(A) : A와 B의 교집합은 A 자신입니다.
– ③ n(A-B) = 0 : A에만 속하는 원소는 없습니다.
– ④ n(A∪B) = n(B) : A와 B의 합집합은 B 자신입니다.
– ⑤ n(A)+n(B-A) = n(A) + (n(B)-n(A)) = n(B) 입니다.
주의할 점:
A⊂B와 동치인 여러 원소 개수 관계식(n(A∩B)=n(A), n(A∪B)=n(B), n(A-B)=0)을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
교집합 원소 개수의 최댓값 구하기 (min(A,B))
“
배수 집합과 약수 집합의 성질을 종합적으로 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: Aₙ은 n의 배수 집합입니다. A₂∩A₃는 2와 3의 공배수, 즉 6의 배수 집합(A₆)입니다. 따라서 A₆ ⊂ Aₖ 이려면, k는 6의 약수여야 합니다.
2. (나) 조건: Bₙ은 n의 약수 집합입니다. B₁₂∩B₁₈은 12와 18의 공약수, 즉 최대공약수 6의 약수 집합(B₆)입니다. B₆ ∪ Bₖ = B₆ 이려면, Bₖ ⊂ B₆ 이어야 합니다. 이는 k가 6의 약수임을 의미합니다.
3. 두 조건을 모두 만족하는 k는 6의 약수입니다.
주의할 점:
배수 집합에서는 숫자가 작을수록 큰 집합이고(A₂⊃A₄), 약수 집합에서는 숫자가 클수록 큰 집합(B₄⊂B₈)이 되는 경향이 있음을 유의해야 합니다.
”
전체집합과 두집합의 원소중 전체 또는 일부를 포함하는 집합
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두 집합이 서로소(A∩B=∅)일 때, 원소 개수에 대한 설명의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. A∩B=∅를 만족하는 벤 다이어그램(두 원이 겹치지 않음)을 그립니다.
2. 이 벤 다이어그램을 보면서 각 보기의 식이 항상 성립하는지 확인합니다.
– ① n(A-B) = n(A) – n(A∩B) = n(A) – 0 = n(A)
– ② n(B-A) = n(B)
– ③ n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) = n(A)+n(B)
– ④ n(A) ≤ n(Bᶜ) : A는 B의 여집합에 포함되므로(A⊂Bᶜ), n(A)≤n(Bᶜ) 입니다.
– ⑤ n(A)+n(B)=n(U)는 A∪B=U일 때만 성립하므로 항상 옳지는 않습니다.
주의할 점:
서로소 관계일 때 성립하는 원소 개수 관계식(n(A∩B)=0, n(A∪B)=n(A)+n(B), n(A-B)=n(A))을 명확히 이해해야 합니다.
”
합집합 여집합의 최대/최소 (어느 것도 아닌 경우)
