“
배수 집합의 합집합과 교집합의 원소 개수를 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A₄∪A₆가 A₂의 부분집합인지 확인합니다. 4의 배수와 6의 배수는 모두 2의 배수이므로, 합집합 역시 2의 배수에 포함됩니다.
2. (ㄴ) n(A₂-A₃) = n(A₂) – n(A₆) 를 계산하여 확인합니다.
3. (ㄷ) n(A₂∪A₃) = n(A₂) + n(A₃) – n(A₆) 를 계산하여 확인합니다.
4. (ㄹ) n((A₂∪A₃)ᶜ) = n(U) – n(A₂∪A₃) 를 계산하여 확인합니다.
주의할 점:
배수 집합의 포함 관계(m이 n의 배수이면 Aₘ ⊂ Aₙ)와 원소 개수 공식을 정확히 적용해야 합니다.
”
두 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기
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교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (최댓값) n(A∩B)의 최댓값은 두 집합의 원소 개수 중 **작은 값**과 같습니다. 즉, **min(n(A), n(B))** 입니다. 한 집합이 다른 집합에 완전히 포함될 때 발생합니다.
2. (최솟값) n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다. (단, 이 값이 0보다 작으면 최솟값은 0) 이는 합집합의 원소 개수가 전체집합의 원소 개수를 넘어설 수 없을 때 발생합니다.
3. 두 공식을 이용해 최댓값(M)과 최솟값(m)을 구하고, 그 합을 계산합니다.
주의할 점:
교집합의 최대/최소 공식은 반드시 암기해야 합니다. 최솟값 공식의 결과가 음수이면, 실제 최솟값은 0이 됩니다.
”
적어도 두 종류’에 해당하는 원소 개수 구하기
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866번 문제와 동일하게, 교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (최댓값 M) n(A∩B)의 최댓값은 **min(n(A), n(B))** 입니다.
2. (최솟값 m) n(A∩B)의 최솟값은 **n(A)+n(B)-n(U)** 입니다.
3. 주어진 n(A), n(B), n(U) 값을 공식에 대입하여 M과 m을 구하고, M-m을 계산합니다.
주의할 점:
전체집합의 크기가 주어졌을 때, 교집합의 최솟값을 구하는 공식(n(A)+n(B)-n(U))을 정확히 적용할 수 있어야 합니다.
”
특정 조건을 만족하는 원소 개수 계산하기 (차집합 활용)
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실생활 문제에서 교집합의 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘A를 선택한 학생’의 집합을 A, ‘B를 선택한 학생’의 집합을 B로 둡니다.
2. n(U)=32, n(A)=23, n(B)=15 입니다.
3. 문제에서 묻는 것은 ‘A와 B를 모두 선택한 학생 수’, 즉 **n(A∩B)** 의 최댓값과 최솟값입니다.
4. 866, 867번과 동일한 공식을 적용하여 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 합을 계산합니다.
주의할 점:
실생활 문제를 집합의 원소 개수 문제로 변환하여 해석하는 능력이 필요합니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 구하기
“
대칭차집합(A△B)의 원소 개수를 구하는 문제입니다. 포함-배제 원리를 활용합니다.
접근법:
1. n(A△B) = n(A∪B) – n(A∩B) 또는 n(A△B) = n(A) + n(B) – 2n(A∩B) 공식을 이용합니다.
2. (A∩Bᶜ)∪(B∩Aᶜ)는 (A-B)∪(B-A) 이므로 대칭차집합을 의미합니다.
3. 문제에 n(A), n(B), n(A∪B)가 주어졌습니다.
4. 먼저 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 공식을 이용해 n(A∩B) 값을 구합니다.
5. 구한 n(A∩B) 값을 대칭차집합 개수 공식에 대입하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
대칭차집합의 원소 개수를 구하는 두 가지 공식 모두 암기하고, 문제에 주어진 조건에 따라 더 편리한 공식을 선택하여 사용해야 합니다.
”
배수 집합의 여집합과 교집합 원소 개수 (드모르간 법칙)
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차집합과 여집합의 원소 개수를 이용하여 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 공식을 이용합니다. 문제에 n(A-B)와 n(A)가 주어졌으므로, n(A∩B)를 구할 수 있습니다.
2. **n(Aᶜ) = n(U) – n(A)** 공식을 이용합니다. 문제에 n(U)와 n(A)가 주어졌으므로, n(Aᶜ)를 구할 수 있습니다.
3. n(Bᶜ) = n(U) – n(B) 공식을 이용합니다. n(B)를 구해야 합니다.
4. n(A∪B) = n(A-B) + n(B) 라는 관계식을 이용해 n(B)를 구하거나, n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)를 이용합니다. (n(A∪B) 정보가 필요함 – 문제에서 주어지지 않았다면 풀 수 없음)
주의할 점:
이 문제를 풀기 위해서는 n(A∪B) 또는 n(B)에 대한 추가 정보가 필요합니다. 주어진 조건만으로는 n(Bᶜ)를 확정할 수 없습니다. (해설에서는 n(A∪B)=25를 가정하고 풀이)
”
배수 집합의 차집합 원소 개수 구하기
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드모르간의 법칙과 여집합의 원소 개수를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. n(Aᶜ∩Bᶜ)는 드모르간의 법칙에 의해 **n((A∪B)ᶜ)** 와 같습니다.
2. n((A∪B)ᶜ) = **n(U) – n(A∪B)** 입니다.
3. 따라서, n(A∪B) = n(U) – n(Aᶜ∩Bᶜ) 공식을 이용해 합집합의 원소 개수를 먼저 구합니다.
4. n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 공식에 알고 있는 값들을 모두 대입하여 n(A∩B)를 구합니다.
주의할 점:
Aᶜ∩Bᶜ (A도 아니고 B도 아닌 것)은 A∪B (A 또는 B)의 여집합이라는 드모르간의 법칙을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
배수 집합의 성질 종합 참/거짓 판별하기
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855번 문제와 동일하게 드모르간의 법칙을 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 문제에서 구하려는 것은 n(A∩B) 입니다.
2. 포함-배제 원리 공식 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)를 이용하려면 n(A∪B)를 알아야 합니다.
3. 주어진 조건 n(Aᶜ∩Bᶜ) = 6 을 이용합니다. n(Aᶜ∩Bᶜ) = n((A∪B)ᶜ) = n(U) – n(A∪B) 입니다.
4. 40 – n(A∪B) = 6 이므로, n(A∪B) = 34 입니다.
5. 이제 포함-배제 원리 공식에 모든 값을 대입하여 n(A∩B)를 구합니다.
주의할 점:
주어진 조건들을 어떻게 조합해야 구하려는 값을 찾을 수 있는지, 공식들 사이의 관계를 파악하는 것이 중요합니다.
”
교집합 원소 개수의 최댓값과 최솟값 구하기
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주어진 집합 연산이 서로소 관계(A∩B=∅)를 의미함을 파악하고, 이와 동치인 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (A∪B) – (A-B) = B 라는 식을 간단히 합니다.
– (A∪B) ∩ (A∩Bᶜ)ᶜ = B
– (A∪B) ∩ (Aᶜ∪B) = B
– (A∩Aᶜ) ∪ B = B, 즉 ∅∪B = B. 이는 항등식입니다.
2. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A∩B=∅를 유도함)
3. 해설 기준: 주어진 식을 변형하여 A∩B=∅를 이끌어내고, A와 B가 서로소일 때 항상 성립하는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
주어진 식이 복잡할수록, 연산 법칙을 이용해 간단히 하거나 벤 다이어그램을 그려서 그 의미를 먼저 파악해야 합니다.
”
약수 집합의 교집합과 합집합의 성질
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차집합의 원소 개수를 이용하여 합집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. n(A∪B) = n(A-B) + n(B-A) + n(A∩B) 라는 공식을 이용하는 것이 가장 효율적입니다.
2. 문제에 n(A-B), n(B-A), n(A∩B) 값이 모두 주어졌습니다.
3. 세 값을 그대로 더하기만 하면 n(A∪B)를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 상상하면 합집합이 세 개의 서로소인 영역(A-B, B-A, A∩B)으로 구성됨을 쉽게 알 수 있습니다. 이 관계를 이용한 공식은 매우 유용합니다.
”
교집합 원소 개수의 최대/최소 공식 적용하기
