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직선의 x, y절편을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 성질을 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 각각 구합니다. 이 두 점이 지름의 양 끝점입니다.
2. (보기 ㄱ) 원의 중심은 선분 AB의 중점입니다.
3. (보기 ㄴ) 원의 둘레 길이를 구하려면 반지름이 필요합니다. 반지름은 중심과 점 A 사이의 거리입니다.
4. (보기 ㄷ) 중심과 반지름을 이용해 원의 방정식을 표준형으로 세우고, 이를 전개하여 일반형과 비교합니다.
주의할 점:
각 보기에서 요구하는 개념(중심, 둘레, 방정식)을 정확히 이해하고, 지름의 양 끝점을 이용해 각각의 값을 올바르게 계산해야 합니다.
”
직선의 절편을 지름으로 하는 원
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도형을 접는 상황(선대칭)을 좌표평면으로 옮겨 거리를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형을 좌표평면 위에 배치합니다. 변 AB의 중점 M을 원점으로 두면 계산이 편리합니다.
2. ‘종이를 접는다’는 것은 선대칭 이동을 의미합니다. 접기 전의 길이와 접은 후의 길이는 같습니다. 즉, 선분 AB의 길이와 선분 A’B의 길이가 같습니다.
3. 이 성질을 이용하면 점 A’의 좌표를 구할 수 있습니다.
4. 두 점 A’와 B의 좌표를 이용해 직선 A’B의 방정식을 구합니다.
5. 최종적으로 원래 점 A와 직선 A’B 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구합니다.
주의할 점:
접었을 때 변하지 않는 길이(선분 길이)가 무엇인지 파악하는 것이 문제 해결의 결정적인 단서입니다.
”
곡선 밖에서 그은 두 접선이 수직일 조건
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선분의 내분점을 구하고, 그 내분점과 다른 한 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 3:2로 내분하는 점 C의 좌표를 구합니다.
2. 이제 선분 BC가 새로운 원의 지름이 됩니다.
3. 원의 중심은 선분 BC의 중점입니다. 중점 공식을 이용해 중심 (a,b)를 구합니다.
4. 원의 반지름은 중심과 점 B(또는 C) 사이의 거리입니다. 거리 공식을 이용해 반지름을 구하여 r²값을 찾습니다.
주의할 점:
문제에서 어떤 선분이 내분되고, 어떤 선분이 지름이 되는지를 명확히 구분해야 합니다. 여러 점이 등장하므로 혼동하기 쉽습니다.
”
내분점과 한 점을 지름으로 하는 원
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곡선 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 접선의 기울기를 m이라 하고, 점 (a,a)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 이차함수와 접하므로, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 D=0이 성립해야 합니다.
3. 판별식 D=0을 정리하면, 기울기 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 접선의 기울기가 됩니다.
4. 두 접선이 서로 수직이므로, 두 기울기의 곱은 -1입니다.
5. m에 대한 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용해 ‘두 근의 곱 = -1’ 이라는 식을 세워 a값을 구합니다.
주의할 점:
이차함수 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 수직이 되는 점들의 자취는 그 이차함수의 ‘준선’이 됩니다. 이 배경지식을 알고 있으면 문제 이해에 도움이 됩니다.
”
이등변삼각형과 무게중심의 복합 문제
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정점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분할 조건을 이용하는 서술형 문제입니다. 225번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 직선을 m에 대해 정리하여, m값에 관계없이 항상 지나는 정점의 좌표를 찾습니다. 이 점이 꼭짓점 A임을 확인합니다.
2. [2단계] 직선이 꼭짓점 A를 지나면서 넓이를 이등분하려면, 반드시 대변 BC의 중점을 지나야 합니다. 중점 M의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 직선 l이 중점 M을 지나야 하므로, M의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
서술형이므로 각 단계의 논리(정점을 찾고, 넓이 이등분 조건은 중점을 지나는 것임을 밝히고, 대입하여 답을 구하는)를 명확하게 보여주는 것이 중요합니다.
”
세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건
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세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건을 모두 찾아 미지수의 합을 구하는 서술형 문제입니다. 173번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 삼각형을 이루지 않을 조건은 (1)두 직선 이상이 평행하거나, (2)세 직선이 한 점에서 만나는 경우임을 서술합니다.
2. [2단계] 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 m값을 구합니다.
3. [3단계] 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구하고, 그 교점을 미지수가 있는 직선이 지날 때의 m값을 구합니다.
4. [4단계] 2, 3단계에서 구한 모든 m값의 합을 구합니다.
주의할 점:
삼각형을 이루지 않는 모든 경우를 빠짐없이 체계적으로 나누어 서술하는 것이 핵심입니다.
”
마름모의 수직이등분선과 원점 거리
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마름모의 성질을 이용하여 대각선 방정식을 구하고, 원점과 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 대각선 AC의 길이가 10이라는 조건을 이용해 점 C의 좌표를 먼저 확정합니다.
2. [2단계] 직선 BD는 대각선 AC의 **수직이등분선**입니다. 선분 AC의 중점과 수직 기울기를 이용해 직선 BD(직선 l)의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 원점(0,0)과 2단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
마름모의 대각선이 서로를 ‘수직이등분’한다는 핵심 성질을 정확히 이용하여 직선의 방정식을 구하는 과정이 중요합니다.
”
좌표평면을 여섯 부분으로 나눌 조건
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세 직선이 좌표평면을 여섯 개 부분으로 나눌 조건을 묻는 서술형 문제입니다. 175번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 좌표평면이 6개 영역으로 나뉘는 경우는 (1)세 직선 중 두 직선만 평행하거나, (2)세 직선이 한 점에서 만나는 경우임을 서술합니다.
2. [2단계] 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 구합니다.
3. [3단계] 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구하고, 이 교점을 미지수가 있는 직선이 지날 때의 a값을 구합니다.
4. [4단계] 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘좌표평면을 6개로 나눈다’와 ‘삼각형을 이루지 않는다(단, 셋 다 평행은 제외)’가 같은 조건임을 이해하고, 두 가지 경우를 모두 빠짐없이 찾아야 합니다.
”
정점과 원점 거리 최댓값 구하기
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정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 과정을 서술하는 문제입니다. 259번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 원점과 주어진 직선 사이의 거리를 k에 대한 식으로 표현합니다.
2. [2단계] 1단계에서 구한 거리 식이 최대가 되려면 분모의 이차식이 최소가 되어야 합니다. 분모의 이차식을 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 찾고, 그때의 k값(a)과 거리의 최댓값(b)을 구합니다.
3. [3단계] a+b의 값을 계산합니다.
대체 접근법(기하학적):
주어진 직선의 정점을 찾고, 거리의 최댓값은 원점과 정점 사이의 거리임을 이용하면 더 간단하게 b를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
서술형이므로, 대수적인 풀이(이차식의 최소를 이용) 과정을 단계적으로 보여주는 것이 좋습니다.
”
실생활 문제의 좌표 설정과 수직이등분선
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좌표 설정을 통해 실생활 문제를 해결하고, 수직 조건과 중점을 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 벽과 지면을 각각 y축, x축으로 설정하고, 유리판의 양 끝점 A, B의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 햇빛을 나타내는 직선은 유리판(선분 AB)의 중점 M을 지나고, 유리판과 수직입니다. 직선 AB의 기울기와 중점 M을 구해, 햇빛 직선의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 햇빛이 지면과 만나는 점은 이 직선의 x절편입니다. x절편을 구해 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
실생활 문제를 좌표평면으로 옮겨오는 모델링 능력이 필요합니다. ‘유리의 중심을 수직으로 통과’라는 표현을 ‘선분의 중점을 지나고 그 선분에 수직이다(수직이등분선)’로 해석해야 합니다.
”
공선 조건과 수직이등분선, 점과 직선 거리
